011:ダ・ヴィンチの星の凸と凹

■１■「ダ・ヴィンチの星」は正多面体の各面に側面が正３角形の正多角錐を貼り合わせた立体のことだが、ここではアルキメデス立体その他に対しても、正多角錐を各面に貼りつけることを「ダ・ヴィンチの凸星化」、各面の内部側の胞から正多角錐を削り取ることを「ダ・ヴィンチの凹星化」と呼んでみる。

■２■まあダ・ヴィンチをいちいち担ぎ出す必要もないので、通常はシンプルに凸星化と凹星化とも呼ぶ。正12面体を例に、面構成の多面体と線構成の綿棒多面体の概念図を元に見てみよう。通常は面で表現するので内部は見えない。フレーム表現だと背後の面まで見える。36度回転していることが見て取れる。　

■３■凸星化の面構成と線構成を見てみよう。これらの図はいわゆる普通に言う「ダ・ヴィンチの星」の概念図だ。そして次は凹星化された形の面構成と線構成の図だ。もちろん平面のしかも５重回転対称性の軸方向から見た図なので立体感に乏しいが、面構成より線構成の方が情報量が多いのは見て分かる。

■４■そして面構成では不可能だが、線構成の図だと凸星部分と凹星部分を重ねて見ることができる。凹星部分が大星型12面体を作っていることが、平面的な図からも５芒星として見て取れるだろう。この中にさらに小星型12面体を入れ込むこともできる。最後の画像は実際の綿棒多面体のいわゆる全部乗せだ。

2019.12.01 Sunday