010:ベクトル平衡体を正20面体に変換する

ベクトル平衡体を正20面体に変換するために準備する綿棒
　　　(1) 白24本（ベクトル平衡体外部の稜線）
　　　(2) 黒12本（ベクトル平衡体内部の６軸）
　　　(3) 黄６本（正方形→正３角形用の６本）

■１■ベクトル平衡体は辺長と外接球半径(重心−頂点)が全て等しいので、綿棒36本で製作が可能だ。上段左図は背景を白くすることで、軸を黒く塗った12本の重心−頂点を強調し、同右図は背景を白くすることで、白い軸のままの24本でベクトル平衡体の24本の稜線を強調してある。下段は別個に示してある。

■２■重力によって歪むので、重心からの12本の黒いスポークのみでも、正方形と正３角形からなるベクトル平衡体の24本の白い稜線だけでも自立し続けることは不可能だ。２者を合体することで自立した綿棒多面体となり、ベクトル平衡体の回転対称軸上にある正３角形の対が６芒星になることも見て取れる。
　

■３■上図上左は、脱皮したばかりの甲殻類のようにふにゃふにゃのベクトル平衡体の、正方形部分に綿棒を１本入れて正３角形２つにしたところ。同右は、最初に挿入した綿棒に対して直角になるように、隣の正方形にも１本入れて正３角形を２つにしたもの。両端の頂点には５本の綿棒が集まることになる。
　
■４■同下左は、同様の操作を４つの正方形の面にしたところであり、そして下右は６面の正方形全てに綿棒を入れることによって、２つの３角形に分割した形である。結果として挿入した６本の綿棒は２本ずつの直交３軸の位置になり、かつ各頂点は全て５本が集まる正20面体へと変形していることが分かる。

■５■上図左は、ベクトル平衡体の正方形(正６面体由来)の６面全てを正３角形２つにした形を、５重回転対称性の軸に近い視座から見た図だ。また図右はこの正20面体となった形に、最初の12本の黒い綿棒を入れ込んだ形である。辺長と外接球半径の線長比は20：19なので、軸頭の一部が外部に突出している。

■６■最初に綿棒を白24本、黒12本、そして正方形を２分化する黄色６本の合計42本を準備したけれど、ベクトル平衡体の外側の稜線24本(白)が、正20面体に変形した後は６本増えて30本になっていることが分かる。また６方向のスポークだった12本の黒軸は、その中心角が60度から63度26分へと変容している。
　
■７■ベクトル平衡体も正20面体も頂点の数は12個であり、どちらもそれぞれの隣り合う各頂点間頂点間の距離は等しいが、綿棒の頭頂の一部がわずかに飛び出させる分、つまり各重心−の距離を１からわずか19／20(※)分だけ収縮させることで(６本分の稜線を加える必要はあるが)、正20面体に変形するのだ。

■８■逆に言えば正20面体から３軸直交する３対６本の綿棒を抜き去り、辺長と等しい綿棒を内部に12本スポーク状に入れ込むことで、ベクトル平衡体に変形できるということでもある。内包関係も変化の流れも一方向だけでは360度どまりなので、半転ではなく720度に反転して見なくては全体は掴みがたい。

■９■ちなみに最初に示した６方向のスポークだった12本の黒軸は、不安定だからこそ24本の白軸綿棒を正３角形８面と正方形９面の形に交互になるよう乗せることでベクトル平衡体となり、また30本をほんの僅かずつ端点を突出させて、各頂点に５本ずつ接続させることで20面の正３角形を作ることもできる。

■10■この各頂点の飛び出し具合は、３層のバッキーボールを作るために第１層の正20面体の上に第２層の20-12面体を乗せル時など、５重回転対称性の綿棒多面体を何度か作ったことがある人にはお馴染みのところだ。さほど意識しなくても微調整感覚も指が覚えているならば、自然に組み立てられるだろう。

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(※)19：20と表現している数値比は正確には√{(５＋√５)／２}：20＝19.02113033…：20であり、正20面体の中心角は正確には63.4349488度＝63度26096928分。

2019.11.30 Saturday