009:菱形12面体の新しい作り方

■１■プラトン立体の各面に正多角錐を立てるダ・ヴィンチの(凸)星に対し、各面から逆向きに正多角錐分を削り取った形をダ・ヴィンチの凹星と呼んだ。正８面体では各面から逆向きに立てた正３角錐の頂点が反対側の面心に来て、それらの８点を結ぶとちょうど面点変換した形と全く同じ正６面体になった。

■２■その小さな正６面体の各面に、綿棒４本ずつを用いて背の高い４角錐を立てる。次に元の正８面体をダ・ヴィンチの(凸)星に立ち上げる。これはケプラーの星形８面体となる。そしてこの正６面体由来の４角錐の頂点と、この星形８面体の８つの頂点を結ぶと、１辺が綿棒１本からなる菱形12面体になる。

■３■これは新しい菱形12面体の作り方である。これまでの方法は、先ず最初に綿棒を交差させて１辺が√２／２（＝0.707106781…)の正６面体を作り、その各６面から４角錐を６つ立て、また各頂点方向に対角線３辺を底辺とする正３角錐(正４面体)を８つ立てて、それら14個の頂点を結ぶというものだった。

　

■４■これはダ・ヴィンチの(凸)星に対して、プラトン立体の各面から外でなく内側から角錐分だけ削り取る｢ダ・ヴィンチの凹星｣というものを想定しなければ、見出し得なかったものだ。また正８面体が正３角角柱を60度捩じった反角柱であり、各面内に逆向きの正４面体が内接するということも再確認した。

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（※）最初の作り方より24本使う綿棒が多いことが分かる。
★今回の使用本数
(1)正８面体⇒12本、(2)ダ・ヴィンチの凹星化⇒24本、(3)４角錐×６⇒24本、(4)３角錐×８⇒24本、(5)菱形12面体⇒24本。合計108本
★これまでの使用本数
(1)正６面体⇒12本、(2)４角錐×６⇒24本、(3)３角錐×８⇒24本、(4)菱形12面体⇒24本。合計84本

2019.11.28 Thursday