008:ダ･ヴィンチの凹星化にいて

■１■プラトン立体の「ダ・ヴィンチの星」については既に見た。このダ･ヴィンチの星化を逆方向の内側にもする事ができる。取り敢えずここではダ・ヴィンチの凸星化に対しダ・ヴィンチの凹星化と呼ぶことにする。外への突出と内への陥入。塔と穴。綿棒多面体ではその双方を同時に見て取ることができる。

■２■綿棒多面体で作ったプラトン立体のダ・ヴィンチの凹星化を個別に見ていこう。正６面体は重力に抗って自立できないので、各面から内側に４角錐を入れ込んで補強した。あの内部で交差して、重心近くに反転して空っぽの小さな正８面体を作っているが、あの形が既にダ・ヴィンチの凹星化でもあった。



■３■正12面体もまた30本だけでは重力のせいで自壊してしまうので、各面の内側に正５角錐を入れ込んだあの形が、ダ・ヴィンチの凹星化でもあった。外側にダ・ヴィンチの凸星化した形と重ね合わせて、本体の胞に対する＋と−だが、凹凸合わせた形をデルタ10面体として、双方を同時に見ることも可能だ。



■４■凹星化により元の正12面体から削り取られた残りの胞部分は、大星形12面体となっている。この凹星化した内向き５角錐の12頂点は、さらに内部にある辺長比が１／φの小さな20面体と接続している。その小さな12面体はまた、30本を交叉させて作った小星型12面体として、綿棒で表現することもできる。



■５■正20面体は１辺と頂点⇔重心の比が20：19だったので、ダ・ヴィンチの凹星化すると、逆向きの20個の正４面体の頂点は重心を通り過ぎてしまう。つまり元の正20面体の胞全てを削り取ってしまい、その20個の頂点は重心のすぐそばで非常に小さな正12面体を作るだろう。これは綿棒では表現しきれない。



■６■正８面体のダ・ヴィンチの凹星化は、正３角形の８面それぞれから内側に立ち上がって、その頂点が反対側の正３角形の面心に接する正４面体分を削り取ることになる。その８つの頂点が反対側の８つの面心になるので、その頂点を繋いだ形はちょうど、正８面体を内側に面点変換した正６面体と重なる。



■７■正４面体のダ・ヴィンチの(凸)星は、４面に４つの正４面体が付いて体積は元の５倍になったが、凹星化するとわずか１面だけの操作で体積０となる。すなわち消滅してしまう。４面だと４重に胞部分が削り取られるということになる。フレームは残ると設定すると、綿棒のように正４面体の形が残る。

■８■ここでは煩雑になるのでプラトン立体のみを検分したが、正多角錐のいわゆる外側への凸化接続のみでなく、ダ・ヴィンチ自身は言及しなかったであろう内側への凹化も含めて、多面体を「ダ・ヴィンチの星」化するということは、角錐の頂点が作る形状が元の多面体を面点変換するということでもある。

2019.11.27 Wednesday