007:正12面体各面からの５角錐の立ち上がり

■正12面体の面心を、重心−面心を貫く回転対称軸方向に沿って移動すると５角錐が立ち上がり、各面が２等辺３角形の様々な５角錐12面体となり、多面体全体としては様々な３角形の60面体になる。また高く立ち上げるほど、頂角は小さくなり､底角は大きくなる。

　　　　　　　　　　　　点　線　面　 ３角形の内角
「小星形12面体」　　　　32、90、60　 36°　 72°　　72°
「正３角形60面体」 　　 32、90、60、 60° 　60°　　60°
「菱形30面体」 　　　　 32、90、60、 63.43°58.285°58.285°
「５方12面体」 　　　　 32、90、60、 68.62°55.69° 55.69°
「正12面体」　　　　　　32、90、60、 72°　 54°　　54°
-
（※）ただし正12面体はその１面を面心を用いて５等分した図形として、また菱形30面体はその１面を短い方の対角線で２分割した図形として、さらに小星形12面体は５角柱の１面の３角形を用いている。

　

★正12面体…説明不要のプラトン立体。面の正５角形を５つの２等辺三角形に分割下図家手として考えると､２等辺３角形の頂角は72度､底角は54度となる。また等辺：底辺＝1.175570505：１(＝１：0.850650808…)である。

★５方12面体…中心点を正12面体の外接球まで立ち上げると、２等辺３角形の頂角は68.62度、底角は55.69度。等辺：底辺＝６：９−√５＝６：6.763932023＝1.12322004…：１(＝１：0.887057998…)となる。カタランの立体の一種で、切頂20面体の双対多面体だ。

★菱形30面体…５角柱の２等辺３角形の頂角が約63.43度、底角は約58.285度、底辺と等辺の比が１：0.951056516…(＝１：1.051462224…)の時、底辺で接する２つの３角形の２面角は180度となる。その結果、２つの３角形は対角線比が１：Φの１つの菱形となり、全体としては菱形30面体となる。

★正12面体のダ・ヴィンチの星…正12面体の各面の外側に各辺が同長の正５角錐を付けた形で、僅かに凹な正３角形60面体となる。各面は全て正３角形で、面の３つの内角は全て60度である。等辺：底辺＝１：１。

★小星形12面体…５角錐の１面の２等辺３角形が、頂角36度、底角72度の時、等辺：底辺＝Φ：１＝1.618033989…(＝0.618033989…：１)隣、全体としては５角錐の底辺で接する５つの２等辺３角形が同一平面の５芒星となり、ケプラー・ボアンソ立体の１つの小星形12面体となる。

　

2019.11.26 Tuesday