005:綿棒のベクトル平衡体を正20面体に移行する

　　

■１つの大球に同型の小球が最大で何個接することができるかという「キスナンバーの問題」。その答は12個だ。この中心球も入れたこの最密パッキング形状にある13球の重心をつなぐとベクトル平衡体になる。12の頂点と重心との間の全て等距離の関係線は全部で36本。これをフラーはベクトルと呼んだ。ベクトル平衡体の名前の由来はここから来ている。綿棒36本で作るベクトル平衡体と同じ構造である。

　

■13個の細密パッキングの形状から中心球を抜き去ると、残った12個の球は隙間を埋めようと変形し、全体はわずかに収縮する。それらの重心をつなぐと正20面体になる｡あるいは同じ大きさの球体で作った２つの正５角錐を上下に接すると正５角錐対柱になる。その片方を36度回転させると、12個の球体の重心が正20面体になる。

　

■ベクトル平衡体の６つの正方形を２分する対角線を、それぞれ３軸直交野方向になるように引く(赤･青･緑)。これによりベクトル平衡体の12の頂点は１点に５本の線が集まることになる。この３軸直交の６本の線を、正６面体の面上で１：１／φの正３角形にすると、ベクトル平衡体の８個の正３角形は、立体対角線を中心に縮小して回転する。

　

■正８面体の線心をつなぐと、正８面体の各面の１／４の正３角形を共有するベクトル平衡体になる。この小正３角形を面心を中心にして正８面体の各辺に沿って移動させると、小正３角形は回転する。この頂点を正８面体の稜線を黄金分割する位置まで回転させると、正８面体にぴったり内接する正20面体になる。

■綿棒多面体で30本を用いて正20面体を作ることができる。しかしベクトル平衡体のように、頂点と重心も結んで作ることは不可能である。なぜならベクトル平衡体の頂点から反対側の頂点までの距離は綿棒１本分だが、正20面体の外接円直径はほぼ19／20と僅かに短いので、綿棒で作ると重心をオーバーフロウして隙間ができてしまうからだ。

2019.10.29 Tuesday