■１■１つの球体に同型の球体が最大で何個接することができるかという「キスナンバー問題」。その答は12個だ。この中心球も入れたこの最密パッキング形状にある13球の重心をつなぐと立方８面体になる。この13点間にできる36本の線分の長さは全て等しい。フラーはこの多面体をベクトル平衡体と呼んだ。



■２■この13球のベクトル平衡体から中心球を抜き去ると、残った12個の球は隙間を埋めようと全体はわずかに変形収縮し、その重心を繋ぐと正20面体になる｡また同大の球体で作った２つの正５角錐を上下に接すると正５角錐対柱になるが、その片方を36度回転させると、12個の球体の重心は正20面体になる。



■３■ベクトル平衡体の６つの正方形をを２分する対角線を、それぞれ３軸直交の方向になるように引く(赤･青･緑)と、12の頂点は１点に５本の線が集まることになる。この線長１の６本の線を、正６面体の面上で１／φの長さにすると、ベクトル平衡体由来の８個の正３角形は、立体対角線を中心に回転する。


■４■正８面体の線心を繋ぐと、正８面体の各面の体積比１／４の正３角形を共有するベクトル平衡体になる。この小正３角形を面心を中心にして正８面体の各辺に沿って移動させると正３角形は回転する。この頂点を正８面体の稜線を黄金分割する位置まで回転させると、正８面体に内接する正20面体になる。

■５■綿棒30本を用いて正20面体を作ることができる。しかしベクトル平衡体のように、頂点と重心も結んで作ることは不可能だ。なぜならベクトル平衡体は重心-頂点と各辺は等距離だが、正20面体は各辺に対して重心-頂点の距離は19／20と僅かに短いので、綿棒で作ると重心をオーバーフロウしてしまうのだ。

2019.10.29 Tuesday