001:バッキーボールの綿棒数と結束点数

■１■綿棒多面体のバッキーボールは３層からなる。中心に置いた正20面体から外側に連結させた２倍体正20面体及び３倍体の正20面体の、それぞれ12個ある頂点周りにある正５角錐を凸から凹に変形したものが、第２層の20−12面体と第３層の切頭20面体(バッキーボール)となっているとも表現出来るだろう。

■２■綿棒多面体は、３次元における幾何学的な要素である点・泉・面・胞のうちの、｢線｣に相当するもので立体を表現している。途中それらを立体的に支え繋ぐブリッジ部分にも綿棒を使用している。ほかにも様々に入れ込み繋ぐことが可能だが、通常のバッキーボールは全部で 600本の綿棒を使用している。
　

■３■では結束点はいくつあるだろう？中心核の正20面体の頂点は12個。元々５本が集まる各点には、さらに第２層へ連結する５本が集まり、全て10本の綿棒が接続している。第２層の２倍体正20面体の結束点は42だが、ここから12頂点を除いたものが20−12面体で、頂点は30個。全て11本の線が集まっている。

■４■２倍体正20面体の12頂点は上下５本ずつの10本が接続している。第３層の３倍体正20面体の結束点は全部で92個。しかしバッキーボールはここから12頂点の周りの５角錐を切り取った形なので、92−12＝80個だ。12ある正５角形の各点には７本が集まり、20ある正６角形の中心点には９本が集まっている。
　　

■５■中心核と２倍体の正20面体の各頂点には10本が集まる。20−12面体の30個の各頂点には11本が集まる。第３層の正５角形の各頂点には７本、正６角形の中心点には９本が集まる。結論として綿棒多面体のバッキーボールには結節点が全部で（12＋30＋12＋60＋20＝)134個の結節点があるということになる。

■６■ただしさらに上方に第４層が接続する場合は、第３層の点には上方にさらに綿棒が接続することになる。そもそも面のない綿棒多面体の面を数え上げることは、数え方により様々なので一定ではない。また１つの多面体は３次元では全て１つの胞として捉える。計算間違いがありましたらご指摘願います。

2019.10.22 Tuesday