(644)暦と音階と角度の共型変換

 表4は1サイクル360度・4直角を、前節の音階比率に同型対応して分割したものである。赤字の数値は、円周上に整数倍の振動数が生じた時、その1サイクル分の弦長に対応する中心角を入れたものだ。1つの基本円の円周長を1本の弦として見立てれば、音階比率と弦長比率は反比例の関係にあり、角度比と弦長比とは正比例の関係にある。

 もちろんこの360は角度だけではなく、マヤの計時単位1トゥン=360日、古代エジプトの1年360日、シュメールやバビロニアルーツの12−60進法の360としても見ることができることは言うまでもない。ところでこの<音階−角度>対応を見ると、360という数が暦や角度だけでなく、純正音階的な比率ともいかに整合性を持っているかが分かる。第4番目のオクターブまでの整数の音階的比率ではみな整数に割り切れているのが見て取れるだろう。そしてこのプラス3音もしくは3日の構造に当てはめても、ちゃんと30日と31日のコマの中は整数で収まっている。第5番目のオクターブC音に至って初めて整数に割り切れない数値が出てくるだけである。

表4:「月のフレーム」に重ねた基本振動数360度変換(

PIANO NOTES
FIRST OCTAVE 360 320 288 270 240 216 192
SECOND OCTAVE 180 160 144 135 120 108 96
THIRD OCTAVE 90 80 72 67.5 60 54 48
FOURTH OCTAVE 45 40 36 33.75 30 27 24
FIFTH  OCTAVE 22.5 20 18 16.875 15 13.5 12

 さて360という数は1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360という24個の約数を持つ。そしてこの24の約数は真中で2つに折り返すと、下に示したようにそれぞれ掛け合わせた合計が360になる12のペアがとなる。そこでもう1度、上の表を見てみよう。表2の上には1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20という約数が赤字になっており、一方の表4の同じ位置には360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18という約数が入っている。この対応する位置にある角度と振動数比の値は、それぞれを掛け合わせれば360になるという意味で、それぞれ弦長と振動数比の反比例の関係と等価であることが分かるだろう。

1×360=360  5×72=360  10×36=360
2×180=360  6×60=360  12×30=360
3×120=360  8×45=360  15×24=360
4× 90=360  9×40=360  18×20=360

 実はこの24個ある360の約数の12対は、第5番目のオクターブのDとEのところで交差して折り返っている(で示したところ)。そしてこの12対の約数が折り返っているところは、表1と対比して、30日と31日の間(すなわち音程が30度と31度の間)であることが分かる。さてここで12ヶ月の暦は30日と31日から成っていることを思い出してほしい。先の(641)で12ヶ月の大の月と小の月をピアノの白鍵と黒鍵に対応させて表してみたが、1日1日、もしくはひと月ひと月はみな量子的に同質同大の単位ユニットなどではなく、ある音律的な構造の中でそれぞれの部分が他のそれぞれの部分および全体構造に対して、独特の音階的特質を持っているのである。(31という数の特質はZONE−2ですでに見た。)

 この30日と31日の<小・大・小>で91日の1季節を形成させ、それが4つで364日の1年、そしてそれに曜日を持たない1日を付けくわえたものが合理的な12の構造の「世界暦」だった(91という数がマヤの天界の神の数13と、地上の人間の数7の積であることも忘れないこと)。そしてぴったり4週間・28日が13ヶ月とどの月にも属さない1日を加えた365日が、13の構造を全面に出した「13の月の暦」だった。古代エジプトの智慧の神トートほど洗練された方法によってではなく、むしろ強引に2月から1日を掠め取ってきて自分の誕生月に付け加えたカエサルが始めたユリウス暦。その延長線上にある完成されたグレゴリオ暦の不揃いな月もまた、まだ解明されていない何らかのより深い意味を内包しているのではないだろうか。

)この360度の弦長と振動数の関係を逆に入れてみると次のようになる。表aはBに360を代入して、逆算していったもの。

<表a:B→360>
FIRST OCTAVE 3/4 27/32 15/16 9/8 5/4 45/32
SECOND OCTAVE 3/2 27/16 15/8 9/4 5/2 45/16
THIRD OCTAVE 27/8 15/4 9/2 45/8
FOURTH OCTAVE 27/4 15/2 10 45/4
FIFTH  OCTAVE 12 13.5 15 16 18 20 22.5
SIXTH OCTAVE 24 27 30 32 36 40 45
SEVENTH OCTAVE 48 54 60 64 72 80 90
EIGHTH OCTAVE 96 108 120 128 144 160 180
NINETH OCTAVE 192 214 240 256 288 320 360

 表bはCに1を入れて、振動数比率をトレースしていったもの。こちらでは360は出てこない。表bでは第9オクターブのF#が、平均律では362.038672…となっている。ところでこの第1オクターブCを1と設定した場合の第1オクターブの#Fの振動数比は2の12乗根の6乗、すなわち√2=1.414213562…である。つまりこの第9オクターブのF#の値はこの√2の256倍(=28倍)であるということだ。

<表b:C→1>
FIRST OCTAVE 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8
SECOND OCTAVE 9/4 5/2 8/3 10/3 15/4
THIRD OCTAVE 9/2 16/3 20/3 15/2
FOURTH OCTAVE 10 32/3 12 40/3 15
FIFTH  OCTAVE 16 18 20 64/3 24 80/3 30
SIXTH OCTAVE 32 36 40 128/3 48 160/3 60
SEVENTH OCTAVE 64 72 80 256/3 96 320/3 120
EIGHTH OCTAVE 128 144 160 512/3 192 640/3 240
NINETH OCTAVE 256 288 320 1024/3 384 1280/3 480
    F# 362