■１■｢直交３軸系の世界観だけでなく、５重対称性の空間認識が必要だ｣と声高に言うだけでは何も変わらない。そこで今日は直交３軸に対する直交４軸に当たる正４面体をより深く見ていきたい。まず準備するのはベビー綿棒30本だ。そのうちの６本だけを着色し、必ず１本が色付きの５芒星を６個制作する。
■２■そして着色した１本から出ている５芒星の頂点を６つ接続し、その点が重心として、色のついた６本が正４面体となるように形作るのだ。これは観念的に考えるより、実際に作った方が全然早い。名のない立体だったから、５芒星が正４面体の重心の１点に集まる形なので、｢星の巣｣という名前をつけた。
■３■２次元的な５芒星と３次元的な正４面体の複合立体だが、正確にはそれぞれ正４面体内部に陥入した５芒星の頂点群は、正４面体の重心からわずかにオーバーフロウしてしまうのだが、綿棒の頂点部分でそれらを吸収・調整してその形を維持することが可能だ。したがって５芒星もわずかだが歪んでいる。
■４■次に改めて12本を着色し、外側に突出した５芒星の３頂点ずつを着色綿棒各３本で繋げて、内部正４面体の頂点の真上に正３角形を４つ作ってみよう。するとその新たな４つの正３角形は、最初の正４面体の４面から外向きでなく逆向きに立ち上げた正３角柱の底面と同じ形だということに気づくだろう。
■５■ここで止めても良いのだが、もう少し先に進もう。先ほど作った１本だけ色のついた５芒星を、新たに12個作る(着色12本＋無着色48本＝60本)。また24本を別の色に着色して、それから４つの６芒星を作る。この６芒星が正４面体の４軸方向に来るよう５芒星と上手く組み合わせることで16面体ができる。
■６■この16面体は正５角形と正６角形を組み合わせて作ることも可能だ。実際は５角形がほんの僅かだけ変形するが、綿棒部分で吸収するのでさほど気にしなくて良い。しかし５芒星12個と６芒星４個から作るこの16面体は、単体で自立可能なだけでなく、上述の星の巣をぴったり内包することができるのだ。
■７■この５芒星と６芒星からなる16面体を｢十六夜(いざよい)｣と名付けたが、相性のようなものなので特に固執する必要はない。６芒星４面の位置が、中心の正４面体の４面から逆向きに立ち上げた正３角柱の底面と重なり、それぞれの頂点とも重なる。つまり｢時の巣｣in｢十六夜｣でも１つの立体となるのだ。
■８■５角形と６角形からなる多面体と言えば、すぐに思いつくのが５角形12面と６角形20面からなる切頂20面体(バッキーボール)だ。面数が半分のこの16面体は５角形12面なのは同じだが、６角形は正４面体の４軸方向にある４面しかない。原子クラスターの複雑な配列構造の１つだが、今日はここまで(※)。
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(※)原子クラスターと呼ばれる複雑な配列構造の中の、フランク-カスパー相において12,14,15,16配位の原子を囲むボロノイ領域(※)は12,14,15,16面体であり、それぞれ12個の５角形と０,２,３,４個の６角形の面からなっている。またこの16面体の面数が正12面体と正20面体とも４面離れたちょうど中間にあるが、それに関しては直接的関係を見いだせていない。
20251119
Wednesday
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