■１■脳内歩行開始。プラトン立体は５個。正６面体と正８面体は直交３軸系、正12面体と正20面体は５重対称性系。間を繋ぐベシカパイシス的な在りようの､最もシンプルな正４面体を考える。要素は点４･線６･面４･胞１。２面角は70.5度､中心角は109.5度で､２角は直角90度±19.5度(※1)で合計180度になる｡
■２■｢ダ・ヴィンチの星｣というものがある。プラトン立体の各面に、側面が正３角形の正多角錐を貼り合わせた立体で、ルネサンス期を代表する人物であるレオナルド・ダ・ヴィンチが考え出した。プラトン立体が５種類なので、ダ・ヴィンチの星も５種類ある。正４面体は、正５胞体の展開図の１つとなる。
■３■ダ・ヴィンチの星は各面から外側に正多角錐を貼り合わせたものだが、ここで｢反ダ・ヴィンチの星｣を考えてみよう。日本代表ＤＦ長友佑都がセリエＡのインテルで親友だったＧＫサミール・ハンダノヴィッチのことでも、盟友ＢＯＢへの悪口でもない。各面から内側に正多角錐を入れ込んだ形のことだ。
■４■正４面体のダ・ヴィンチの星は忍者が遁走時に撒くマキビシのように外側に突出しているが、正４面体の反ダ・ヴィンチの星は４つの３角錐が全て元の正４面体と重なり、５重の４面になるので元の正４面体と区別がつかない。つまり正４面体はその点を見ても見なくてもそのまま４次元的でもあるのだ。
■５■さてここで各面に正多角錐を張り付けるだけでなく、正多面体を張り付ける｢拡張ダ・ヴィンチの星｣を考えてみよう。正４面体のダ・ヴィンチの星は各面に正４面体を張り付けることと同義だったが、正８面体と正20面体を張り付けるとどんな形になるのか？イメージが湧かないので綿棒で実作してみた。
■６■結果として、あと６本足せば２倍体の切頂４面体の形になった。本当に正４面体と正８面体の相性はいい。では４つの正８面体を逆側に入れ込む拡張ダ・ヴィンチの星はどうなるのだろう。正４面体を切頂し、さらに切稜したような14面体になる。これをさらにうまく削っていけばベクトル平衡体になる。
■７■次に正４面体の４面の表側と裏側に正20面体を４個張り付ける、正反の拡張ダ・ヴィンチの星を見てみよう。実はこの形は過去に｢四重星(ヨツエボシ
)｣という名で、綿棒多面体で制作したことがある。そして制作した後に、実際に学術的に名前を持つ原子クラスター領域のモデルと同じ形状だと分かった。
■８■つまり４個の正20面体が中心の正４面体を共有しつつ相互貫入するガンマ黄銅クラスターのモデル(これが綿棒多面体の｢四重星｣モデル)と、４つの20面体の各１面が中心に正４面体の空白を作るピアース・クラスターモデルである(※2)｡…今日はここまで。脳内歩行もエネルギー消費はある。飯を食おう。
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(※1)この２角はcosθ=1/3とcosθ=-1/3で求められ、より正確には70.52877937…°と109.47122063…°。
(※2)Ｅ.Ａ.ロード、Ａ.Ｌ.マッカイ、Ｓ.ランガナサン『ミクロの世界の立体幾何学』日野雅之・関根信彰訳、宮崎興二監修。丸善出版。(2020)
(https://web.gekisaka.jp/
(※3)ダ・ヴィンチの画像は｢ROSSO
GRAFICO｣ https://rossografico.com/、
ハンダノビッチの画像は｢ゲキサカ｣
https://web.gekisaka.jp/ より借用。
20251117
Monday
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