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■１■一般に12-60進法はシュメール・バビロニア由来の12進法と60進法から来ていると考えられている。12の約数は１,２,３,４,６,12の６個であり、60の約数は１,２,３,４,５,６,10,12,15,20,30,60の12個でどちらも多くの約数を持ち、時間を12時間･60分･60秒と分割表現するのに適していると言われる。

■２■しかし12-60進法は空間にも明確に見て取れる。綿棒多面体の真骨頂は､線をその構成要素に用いていることにある。面がないために内部対称性や対称軸の在りようもよく見て取れるが、多重構造の制作に必要となる綿棒の本数そのものの中にも､明確な12-60進法が見て取れることはあまり知られていない。

■３■例えば星の種を星の籠と連結させる時、星の種の各頂点から上方に１辺１の正４面体を20個立ち上げると、その20個の頂点は緯12面体の形になる。その12面に12個の５芒星を貼り込むと星の籠となる。その各頂点から再び上方に１辺１の正４面体を20個立ち上げると、その頂点は１辺１の正12面体になる。

(※)　星の種＝１辺１の小星形12面体＝１辺１／φの正20面体
　　　星の籠＝５芒星12面の正12面体＝１辺１／φの正12面体

■４■これらを別の捉え方で表現をすれば、星の種の12個の頂点から５本ずつ外側に向けられた綿棒の逆の端点が、星の籠の20の頂点に３本ずつ集まるということであり、また星の籠の20の頂点から３本ずつ外側に向けられた綿棒の逆の端点が、１辺１の正12面体の20の頂点に３本ずつ集まるということである。

■５■シンプルにこれを黄金比を介在させた面点変換として捉えても、正20面体の20面の正３角形頂点から３本の綿棒を面心上向に集めて正12面体の20の頂点となし、正12面体の12面の正５角形頂点から５本の綿棒を面心上向に集めて正12面体の20の頂点となす関係で、使用綿棒は５×12＝３×20＝60本である。

■６■なお星の籠の20個の頂点から逆向きの正４面体を立ち上げると、その20個の正４面体の頂点は重なり、それらの隙間は12個の正５角形となる。結果としてその頂点が作る形は１辺１の20-12面体となる。20-12面体の稜線は60本だ。この20-12面体を面点変換すると菱形30面体となる。空間は60に満ちている。

■７■正12面体と正20面体は面点変換をミクロ・マクロ方向に繰り返すが、菱形30面体と20-12面体は黄金比を介してその隙間に潜り込むような位置で､面点変換を繰り返す。前者の接続関係は正５角形×12＝正３角形×20＝60だが、その間に挟まる形の後者は､菱形30面体と20-12面体の辺数の60本に現れている。

■８■また正６面体と正８面体の稜線は共に12本だが、直交３軸系から５重対称系にすべく５重自己相貫体にすると、前者はその60個の頂点が３つずつ重なり、20の頂点を結ぶと正12面体となり、後者は30個の頂点を結ぶと20-12面体となる。正４面体は10重の自己相貫体が可能だが、その時の線は60本となる。

■９■直交３軸系の正６面体と正８面体はどちらも線数が12本なので、その12本の線心を重ねれば正８-６相貫体ができる。また正４面体の辺数は６なので､正４面体の自己相貫体(ケプラーの星形８面体)の線数は12本となる。他にも色々合致する点はあるが､綿棒を数えれば空間の中にも12-60進法が見て取れる。

■10■また星の種には１辺が(1)１／φの正３角形と(2)１辺１の正３角形､(3)１／φの正５角形、(4)辺長が１：１／φの黄金矩形が見て取れる。(1)に３角錐を20個立てると頂点は１辺１の正12面体となり､逆向きに入れ込むと20-12面体になる。(2)に３角錐を20個立てると頂点は１辺１／φの正12面体となる。

■11■また(3)に５角錐を12個立てると頂点は２／φの正20面体(あるいは１辺２の星の種)になる。これまで使用した綿棒は全て60本だ。次に(4)の黄金矩形に４角錐を立てるのだが､ここはちょうど星の種の中心の位置にあるので､上下合わせて30個の４角錐が立てられる。使用する綿棒は60の倍の120本となる。

■12■次に星の籠には(1)１辺が１の正３角形、(2)１辺が１の正方形、(3)１辺が１／φの正５角形が見て取れる。(1)に３角錐を20個立てると頂点は１辺１の正12面体となり、(2)に４角錐を30個立てると20-12面体となり、(3)に５角錐を12個立てると正20面体となる。また(1)＋(3)だと菱形12面体となる。

■13■これもまた(1)と(3)は綿棒を60本使用するのだが、(2)および(1)＋(3)では共に倍の120本を使用することになる。つまり正12面体と正20面体の接続には60本が必要となり、その間に挟み込まれる形の20-12面体と菱形30面体の接続は、60の倍の120本が必要ということだ。この空間は12-60に満ちている。

20251008 Wednesday