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■１■数と形と多面体。幾何学はという語はgeometriaの中国語訳だとされ、その翻訳過程と意味付けには諸説あるが、個人的には<幾>が｢幾ばくか｣で、<何>が｢何ものか｣というどちらも問い掛け語であり、幾つか(数)と何か(形と構造)を問う学問だとするのが好きだ。綿棒多面体は形だけでなく数も重要になる。

■２■人間が共有概念として捉えている３次元空間で、対称性が高い立体は美しいものとして認識されている。特に５種類３系統しかないプラトン立体には<３,４,５>という数が顕著に表れている。正多角形の面形で言えば１角形も２角形もなく６角形以上もない。つまり正３角形･正方形･正５角形だけなのだ。

■３■また各頂点に集まる線数(ということは集まる面数でもある)もまた１本だけ２本だけということはなく、また６本以上もない。つまり３本４･本･５本だけなのだ。ちなみに３系統と表現したのは、面点変換が可能な双対立体である<正４面体-正４面体>､<正６面体-正８面体>､<正12面体-正20面体>のペアだ｡

■４■アルキメデス立体には、プラトン立体の頂点を切り取った切頂系がある。切り取られた頂点は正３角形･正方形･正５角形の面形になる。また切頂前は正３角形･正方形･正５角形だったプラトン立体の面形は、それぞれ倍の正６角形･正８角形･正10角形になるが、基本的に３･４･５の関係は保持されている。

■５■古代エジプトでは毎年ナイル川の氾濫の後、結び目で12等分された縄をピンと張って辺長比が３:４:５の直角３角形を作り大地を測量したと言われ、geometryの語源になっている。この辺長比が３:４:５の直角３角形はエジプトの３角形とも言われる。３＋４＋５＝12であり、また３×４×５＝60となる。

■６■正４面体の系の回転対称軸は２重(３本)と３重(４本)の７本である。また正６面体-正８面体の系の回転対称軸は２重(６本),３重(４本),４重(３本)の13本であり、正12面体-正20面体の系の回転対称軸は、２重(15本),３重(10本),５重(６本)だ。つまり共通の２重のほかは３重･４重･５重になっているのだ。

■７■面点変換でなく黄金比の結節点連結で見えてくるものがある。特に正12面体-正20面体の系の多面体を中心角に据えて､その各頂点を繋いで第２層第３層と多重の球殻状に制作する綿棒多面体では、３重と５重の回転対称軸を繋ぐためには60本を要し、２重の回転対称軸を繋ぐには２倍の120本が必要となる。

■８■人間の論理的認識能力は、ユーラシア大陸の中央部より西進した二句分別(ディレンマ)的な２元論を止揚する第３の視座に加えて､東進した四句分別(テトラレンマ)的な４値的論理をさらに俯瞰する第５の視座(ペンターブ)の認識構造が、空間把握にも３･４･５の数理として顕現しているのではなかろうか。

20250317 Monday