■１■前回のフュンク・ウレの数列の話の最後に､<1000、3000、4000、7000、11000、18000、29000、47000、76000…>という数列が出てきたが、実は私たちはこれらの１／1000である<１,２,４,７,11,18,29,47,76…>という数列を、既に前々回のフィボナッチ数列をバリエーション化する話で１度目にしている。
■２■前々回、フィボナッチ数列を作る時の初期設定である初項<１>第２項<１>を､初項はそのまま１で第２項を１でなく<２,３,４…>と変えて行くと数列はどう展開して行くかを見た。しかし第２項を１で固定し第１項の方を順次変えて行くという逆のパターンも同様に可能だということだ。下表をみてみよう。
<１> １,１,２,３,５,８,13,21,34…
<2a> １,２,３,５,８,13,21,34,55…
<2b> ２,１,３,４,７,11,18,29,47…
<3a> １,３,４,７,11,18,29,47,76…
<3b> ３,１,４,５,９,14,23,37,60…
<4a> １,４,５,９,14,23,37,60,97…
<4b> ４,１,５,６,11,17,28,45,73…
<5a> １,５,６,11,17,28,45,73,118…
<5b> ５,１,６,７,13,20,33,53,86…。
■３■上のように並べて見れば、第２項を１から２にした数列<2a>は、初項１第２項１のフィボナッチ数列<１>が１つ左にずれただけの同じ数列であることが分かる。同様に第２項を１から３にした数列<3a>は、初項２第２項１の数列<2b>が１つ左にずれただけの同じ数列だ。以下順次同様の関係が見て取れる。
■４■初項１第２項３の数列でも同じ関係なのだが、初項２第２項１の数列<2b>をリュカ数列(Lucas
sequence)､その各項をリュカ数( Lucas number)という。リュカ数列の名は、フィボナッチ数の研究で知られる19世紀のフランス人数学者フランソワ･エドゥアール･アナトール･リュカにちなんで名付けられた。
■５■下表は｢フィボナッチ数列の隣り合う２項の比は黄金比に近似していく｣ということを確認たものだ。電卓と手計算なので下９桁で打ち切ってあるが、余剰と不足を繰り返しながら急速に漸近して行くのが分かる。決して重なることはないのだが、数オタクとしてはどこまでも繰り返し算出し続けたくなる。
<隣接２項の比>
<２項間の差異>
１／１＝１ −0.618033989…
２／１＝２ ＋0.381966011…
３／２＝1.5 −0.118033989…
５／３＝1.6666… ＋0.048632677…
８／５＝1,6 −0.018033989…
13／８＝1.625 ＋0.006966011…
21／13＝1.615384615… −0.002649373…
34／21＝1.619047619… ＋0.001013630…
55／34＝1.617647059… −0.000386930…
89／55＝1.618181818… ＋0.000147829…
144／89＝1.617977528… −0.000056461…
233／144＝1.618055556… ＋0.000021567…
377／233＝1.618025751… −0.000008238…
610／377＝1.618037135… ＋0.000003146…
(以下略) (以下略)
φ＝1.6180339874989484820458683436563811772050917980576…
■６■また下表は｢リュカ数の第ｎ項は黄金比をｎ乗した値と近似している｣ということを確認したものだ｡φ?は１でリュカ数第１項は２からスタートだが、黄金比の累乗数も小数点以下で余剰と不足を繰り返しながら、どんどんリュカ数に漸近して行くのが見て取れる。永久に重ならないがこちらも収束が早い。
<黄金比の累乗> <リュカ数>
φ^0＝１ 第１項→２
φ^1＝1.618033989… 第２項→１
φ^2＝2.618033989… 第３項→３
φ^3＝4.236067977… 第４項→４
φ^4＝6.854101966… 第５項→６
φ^5＝11.09016994… 第６項→11
φ^6＝17.94427191… 第７項→17
φ^7＝29.03444185… 第８項→29
φ^8＝46.97871374… 第９項→47
φ^9＝76,01315558… 第10項→76
φ^10＝122.9918693… 第11項→123
φ^11＝199.0050248… 第12項→199
φ^12＝321.9968941… 第13項→322
φ^13＝521.0019188… 第14項→521
(以下略) (以下略)。
■７■さらに前回見た２と10からできるフュンク･ウレ数列は第12項(初項と第２項を初期設定として項数から外せば第10項）で１つ相転換し、次の項から黄金比φの累乗数の1000倍に近似すると表現したが、この第10項から以降はリュカ数列の1000倍の数列とも近似した数が並んでいるということでもある。
■８■切りがないので最後に､｢ｎ番目のリュカ数をｎ番目のフィボナッチ数で割ると√５に近似する｣ということを確かめてみることにする。なお誤差は小数点以下９桁で打ち切ったものを示してある。わずか10個の数字の巡りの至福にまみれつつの電卓と手計算なので、万が一間違いがあったらご容赦願いたい。
<A>リュカ数
<B>フィボナッチ数 <A/B>
誤差
１ １ １
−1.236067977…
３ １ ３
＋0.769320226…
４ ２ ２
−0.236067977…
７ ３ 2.333333333… ＋0.027346437…
11 ５ 2.2 −0.036067977…
17 ８ 2.125 ＋0.111067977…
29 13 2.230769231… −0.005298766…
47 21 2.238095238… ＋0.044884403…
76 34 2.235294118… −0.000773859…
123 55 2.236363636… ＋0.005756839…
199 89 2.235955056… −0.000112921…
322 144 2.236111111… ＋0.000059609…
521 233 2.236051502… −0.000016474…
(以下略) (以下略) (以下略)
(以下略)
√５＝2.236067977499789696409173668731276235440618359…
20250316
Sunday
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