■１■前回見たフィボナッチ数列の第２項を変えて行くバリエーションの中には、第２項の１を５にした数列が入っていた。この数列の初期設定である初項と第２項を<１,５>から２倍の<２,10>にするとどうなるか？当然数列の全てが２倍となり､下の⇒で示した数列になるが､これが実にユニークな数列になる。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)
(8) (9)(10)(11) (12) (13) (14) (15)
<1> １,１,２,３,５,８,13,
21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 …
<5> １,５,６,11,17,28,45, 73,118,191,309,
500, 809 1309,2118 …
⇒ ２,10,12,22,34,56,90,146,236,382,618,1000,1618,2618,4236
…
■２■現今のAI的なデジタルの２進法と人間的なアナログの10進法は共に重要であり、今後も相克することなく共存して行きたいものだ。２と10は足せば12、掛ければ20、割れば５でそれぞれのｎ進法もイメージさせられる。また２と10からは簡単に黄金比に漸近するフュンク・ウレの数列を作ることができる。
■３■何かの規制が掛かって消されているのではないかと勘繰るくらい不思議なことにネットで検索してもなかなかこのフュンク・ウレ数列は出てこない。２と10からその和を順次足していく作業は決して難しいことではない。例え小学生であっても、電卓を使ってその結果を紙に書き記せばどこまでも出せる。
<1> <2>
<3> <4> <5> <6> <7>
<8> <9> <10> <11> <12>
<13> <14>
２,10, 12, 22, 34, 56,
90, 146, 236, 382，618，1000，1618，2618…
■４■私たちは昔から12に１つの限界があることを知っている。木星の公転周期(12年)・占星学の12宿、黄道12星座、古代ギリシャやローマの12神、イエスキリストの12使徒、仏教の十二支縁起、球体に同大の球体が12個接する事実、正12面体等々…。同様にこのフュンク・ウレ数列の第12項にも臨界面がある。
■５■なお｢前２項の和が次の項｣という初期設定なので、初項と第２項の２つの値を項数にカウントしないと考えれば、それぞれの項数は２つずれる。２つずれた数列とその項数を改めて見てみよう。10進法と直交３軸で世界を捉えている私たちが先ず注目する点は、第10項が(10×10×10＝)1000になることだ。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)
(9)(10)(11) (12) (13) (14) (15)
２,10,12,22,34,56,90,146,236,382,618,1000,1618,2618,4236
…
新項数 (1)(2)(3)(4)(5)
(6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)
■６■さらに第11項の1618、第12項の2168、第13項の4236、第14項の6854…を見れば､これらの数値はそれぞれφの１,２,３,４…乗数の小数点以下３桁までの1000倍であり、また第９項の618、第８項の382、第７項の236…を見れば､こちらは１／φの１,２,３…乗の小数点以下３桁までの1000倍であるに気づく。
■７■ここで最初の２項を別枠として捉え、項数を改めたたフュンク・ウレ数列を、第10項を反転界面として左右で対になる２項の和が全て20となるように並べたのが下表だ。そしてこの対の奇数項同士は差を取り、偶数項同士は和を取れば、その数値はそれぞれ<１,２,４,７,11,18,29,47,76>の1000倍になる。
(2000) 1000、3000、4000、7000、11000、18000、29000、47000、76000
第10項＋第10項＝1000＋1000＝ 2000
第11項−第９項＝1618−618 ＝ 1000
第12項＋第８項＝2618＋382 ＝ 3000
第13項−第７項＝4236−236 ＝ 4000
第14項＋第６項＝6854＋146 ＝ 7000
第15項−第５項＝11090−90 ＝11000
第16項＋第４項＝17944＋56 ＝18000
第17項−第３項＝29034−34 ＝29000
第18項＋第２項＝46978＋22 ＝47000
第19項−第１項＝76012−12 ＝76000
第20項＋第０項＝122990+10＝123000
第21項−第-1項＝199002-２＝199000
---------------------------------
第22項＋第-2項＝321992＋８＝ 322000
第23項−第-3項＝520994-(-６)＝521000
第24項＋第-4項＝842986＋14＝ 843000
第25項−第-5項＝1363980-(-20)=1364000
第26項＋第-6項＝2206966＋34＝ 2207000
第27項−第-7項＝3570946-(-54)=3571000
（以下略）
■８■２と10から黄金比に漸近するフュンク・ウレ数列を作ることができ、またその偶数対の和及び奇数対の差を出すと２,１,３,４,７,11，18,29,47,76…という数列ができた。これを同じ形でφ及びその逆数の累乗でも表せしたものが上図右だ。この数列はリュカ数列という名がある。次回詳しく見て行こう。
黄金比の累乗及びその逆数の累乗で表わす
φ^0＋１／φ^0＝２ (＝１＋１）
φ^1−１／φ^1＝１ (＝φ−１／φ)
φ^2＋１／φ^2＝３
φ^3−１／φ^3＝４
φ^4＋１／φ^4＝７
φ^5−１／φ^5＝11
φ^6＋１／φ^6＝18
φ^7−１／φ^7＝29
φ^8＋１／φ^8＝47
φ^9−１／φ^9＝76
φ^10＋１／φ^10＝123
φ^11−１／φ^11＝199
----------------------
φ^12＋１／φ^12＝322
φ^13−１／φ^13＝521
φ^14＋１／φ^14＝843
φ^15−１／φ^15＝1364
φ^16＋１／φ^16＝2207
φ^17−１／φ^17＝3571
（以下略）
(…数オタク編３に続く)。
20250315
Saturday
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