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■１■５芒星12個の各頂点にそれぞれ３つの５芒星を接続させると５芒星12面体となり､２つずつ接続させると５芒星20-12面体となった。そこで前回は５芒星20-12面体の60個ある頂点全てに３つの５芒星を接続させてみた｡では５芒星20-12面体の60個ある頂点全てに２つの５芒星を接続させたらどうなるだろう。

■２■各頂点に１つの５芒星を繋ぐと、その５芒星は上下が逆になる。60個の５芒星は逆向きのまま肩の部分が連結して、１辺１単位の正12面体になる。残る外向きの２頂点は､全体が連動してかなり自由に変形する。頂点間を最も安定した等距離に据えると、その120個の頂点は１／φの切頂12面体の形状になる。

■３■しかしその切頂12面体を安定させるために様々な綿棒の接続の仕方を探したが、新しい安定方法が見出せなかった。さてどうしたものかと眺めていると、５芒星20-12面体のそれぞれの５芒星の各辺は､隣の５芒星の１辺と平行になっており、結果として黄金矩形(辺長比１／φ：１)が沢山あると分かった。

■４■そこで最初の５芒星を逆さに着けるルートを断念して、その30個ある黄金矩形の上に４角錐30個を立ち上げてみた。するとそれぞれの５芒星の少し外側に１辺１単位の正３角形が黄金比で交差して、結果としてその底辺が黄金矩形の４角錐の頂点は、１辺１の正５角形を作り、全体では20-12面体になった。

■５■５芒星12面体の20の頂点上に１辺１単位の正４面体を20個立てると、その頂点は１辺１の正12面体を形成する｡また５芒星20-12面体に底辺が黄金矩形の４角錐を30個の立てると、その頂点が１辺１単位の20-12面体を形成する｡この２つのプロセスは黄金比を介した拡張として見れば同型として捉えられる。

■６■分かってしまえば理路に沿う自明のことだが、実際に綿棒を用いて試行錯誤しているうちに突然解が発見できるのは、いつやっていてもやはり嬉しい。５芒星20-12面体についてこれほど考えるとは思っていなかった。５芒星12面体を｢星の籠｣と呼んだが、５芒星20-12面体をこれからは｢星の器｣と呼びたい。

■７■なお先に見た通り５芒星20-12面体の各頂点に５芒星を３つ集めることでも１辺１の正12面体と20-12面体ができた。この20-12面体と５芒星20-12面体にある黄金矩形を底辺とした４角錐を30個立ち上げた時の頂点からできる１辺１単位の20-12面体とは、思考のアプローチは異なるが同じ大きさのものにある。

■８■綿棒は１本の長さが私たちの指の長さに近い３インチ(約7.6cm)であり、５芒星や６芒星などにしてさらにコンパクトにする時も、私たちの指の関節比に近いので馴染みやすい。論理思考や概念把握も重要で欠かすことができないものだが、時には綿棒を掌の中で幾何学的に弄び楽しむ余裕もほしいものだ。

20250312 Wednesday