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■１■綿棒60本で５芒星を12個作り､頂点を全て３連結にすると５芒星12面体になり、全て２連結すると５芒星20-12面体になった。そして５芒星12面体の30本ある各稜線上に垂直に５芒星を立てると正12面体と20-12面体ができた。では５芒星20-12面体の60本ある各稜線に５芒星を垂直に立てたらどうなるのだろう。

■２■頭で色々考えたけど分からないので、実際に作って確かめてみることにした。まず中心に据える５芒星20-12面体の60本は着色する必要がある｡この実際は見えない稜線部分(１辺１／φ)は60本あるから、５芒星を立ち上げるにはその５倍の300本が必要となる。綿棒の１ケース200本入りでは全然足りない。

■３■両端にペーパーセメントを塗るだけでも大変だ。取り敢えずこの300本は無着色のままでいいか。５芒星20-12面体の稜線上から５芒星を60個立ち上げても、本当にその頂点が辺長１の20-12面体になるのかも分からない。そこで取り敢えず120本分にペーパーセメントを塗って部分的に確かめてみることにした。

■４■途中で立ち上げた５芒星の頂点を繋いでも20-12面体にならないことに気付いた。というか５芒星の肩の部分の連結が１辺１単位の20-12面体になることが分かった｡確かに５芒星12面体が正12面体と20-12面体になるのだから、５芒星20-12面体は20-12面体と｢何か｣になるはずだ。その何かがよく分からない。

■５■そこで60本を新たに着色して、無着色の５芒星60個の肩に当たる部分の１本全て取り替えることにした。全部で無着色をあと120本と共にペーパーセメントを塗る。取り外した肩部分の60本も再利用して、全部で60個の５芒星を５芒星20-12面体に乗せてみた。肩部分の連結形はやはり１本１の20-12面体だ。

■６■どんな名前の多面体になるのか分からないが、分かり易いよう太い綿棒に着色して、最外層となる５芒星60個の頂点を繋ぎ合わせてみることにした。できた形は正12面体がばらけて各面が少し外側に飛び出たような形になった。もしくは正12面体の稜線を少し削り取った斜方12面体とでも名付けたい形だ。

■７■アルキメデス立体に斜方20-12面体という多面体がある。正５角形12･正方形30･正３角形20の62面体で、面形が正３･４･５角形になっている。この形に面数も同じで良く似ているのだが、正方形でなく黄金矩形であり、正３角形の辺長は１でなく１／φなのでこの形ではない。ではこれは一体何なのだろう。

■８■正12面体と正20面体の相貫体を想定しよう。この立体の頂点を繋ぐと菱形30面体になり､角錐を全て取った共通部分は20-12面体となる。そしてさらにこの菱形30面体と20-12面体をもう１度相貫体にする｡そこから３･４･５角錐を全て取った形状がこの多面体の形状だと言う結論に至った。ようやく眠れる。

■９■なお逆に全ての頂点を結んだ形は凧形60面体またはそれに非常によく似た立体だと推定した。だがこれらを文字列だけで記録しても失念しそうだし、他者に伝えることはさらに不可能なので、図示することにした。これにも結構時間が掛かる。またもや夜が明けている。オタクで良かったとしみじみ思う。

■10■なお図下左は５芒星12面体の各辺から５芒星を30個垂直に立ち上げた形で、５芒星の肩が連結して正12面体となり、頂点を結んだ形が20-12面体になっている。右図は５芒星20-12面体の各辺から５芒星を60個立ち上げた形で、20-12面体と上述の立体になっている。また２者の20-12面体は同じ大きさである。

20250309 Sunday