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■１■ベビー綿棒60本で５芒星を12個作り、５芒星の各頂点に全部で３つの５芒星を接続していくと、自然と５芒星12面体が立ち上がる事は既に見た。それに対して全ての頂点が必ず２つの５芒星が接続するように組み立てて行くと、結果として頂点は３倍の60個になり、自然と５芒星20-12面体が組み上がる。

■２■１辺１単位の綿棒で制作した正12面体も20-12面体も､要素としての各辺は綿棒１本分の線分として実際に目に見える。しかし５芒星12面体も５芒星20-12面体も、それそれの５芒星の各頂点間の空白の中に､１辺が１／φ長の線分をイメージで想定することで、その構造と名称を仮想共有しているのである。

■３■綿棒多面体は面でなく線で構成されているので、内部や反対側も透けて見て取れる。従って逆にこの５芒星だけから作られた５芒星正12面体と５芒星20-12面体上に､その多面体の線分ではなく、本来は見て取れない多面体上での５芒星群の連結が作る形も、実際に目に見える綿棒で辿り見ることができる。

■４■例えば５芒星12面体の上には、眼に見える綿棒の形として５芒星の他に正３角形、正方形、正５角形が見て取れるし、５芒星20-12面体の上には､５芒星、正５角形、正６角形が見て取れる。別の表現をすれば､５芒星20-12面体は
１辺１単位の10個の正６角形、または12個の正５角形からなると言えるのだ。

■５■正６面体と正８面体を相貫させた正８-６相貫体から４角錐と３角錐を全て取り払うと、各辺長と外接円半径(頂点から中心までの長さ)とが等しいベクトル平衡体になる。つまり綿棒でベクトル平衡体を作ると分かるが、ベクトル平衡体は頂点から重心に伸ばした12本の綿棒が全て１点で接続するのである。

■６■同様に正12面体と正20面体を相貫させた正20-12相貫体から､正20面体由来の５角錐と正12面体由来の３角錐を全て取り去ると20-12面体になる｡ただしこちらの方の各辺長と外接円半径は１：φになっているのだ。つまり５芒星12面体の各頂点から重心に向けて綿棒を伸ばすと60本が全て１点に集まるのだ。

■７■ただし綿棒には太さと大きさがあるので、実際に60本の綿棒の頭を１点に重ねることは物理的に不可能だ。それでも５芒星20-12面体の上に見た１辺１単位の正５角形や正６角形の各頂点から重心に綿棒１単位を伸ばせば、それらは全て１点に集まることが分かる。私達は幾何学的にそれを理解できるのだ。

■８■つまり５芒星20-12面体の内部に向けて１辺１単位の正５角錐や正６角錐を全て入れ込むと、その頂点は全て重心に集まるということだ。そして外部に向けて正５角錐を全部で12個立ち上げると、その形は以前ミワアキヒロタカという愛称を冠したUVG-120惑星グリッド(点62･線180･面120)の形になるのだ。

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(※)画像<４>右は沖昌克氏が制作した惑星グリッド多面体。

20250305 Wednesday