■１■金属合金によって形成される非常に複雑な結晶相の構造は、幾何学的に全ての点が疑似正４面体の頂点に位置すると解釈できる。この構造の表現は二重記述が可能だ。１つは構造単位の中心を頂点とする４面体で空間を分割する方法で、もう１つはボロノイ多面体(面点変換と同義)を使った空間の分割だ。
■３■この４種類はボロノイ多面体のそれぞれ面数は12､14､15､16面であり、頂点は20､24､26､28個あり、稜線は30､36､39､42本である。存在しない13面体も敢えて数列に入れると、面数は１面ずつ、点数は２点ずつ、そして線数は３本ずつ増えていることが分かる。ここで16面体の双対の28面体を作ってみよう。
■４■準備する線は42本だが、４面の正６角形が面点変換してできる４つの頂点が正４面体構造をしていることが見て取れるよう、そこに接する稜線24本の綿棒の片方の頂点部だけを着色しておこう。元々正６角形に接していなかった頂点由来の４つの正３角形の配置も正４面体構造であることが分かるだろう。
■５■しかし全て同じ長さの綿棒で制作したら何と切頂４面体になった。本当の16面体は12個ある５角形(５芒星で表現)は正５角形でなく僅かに歪んでいるので、３角形が６つ集まる点は少し持ち上がって２等辺３角形の28面体になるはずなのだが、正３角形６つが同一平面の１正６角形になってしまったのだ。 20240524 Wednesday |
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