#209　小星型12面体入りの正12面体

■先日小星型12面体入りの正12面体を作ろうとして失敗し、結局ケプラーの星型８面体が埋め込まれた大きな正８面体を製作したけれど、もう１度バラしてその素材を再利用して、小星型12面体入りの正12面体にリトライし、ついに完成させた。

■正12面体本体に使用する綿棒は線数である30本だ。しかし５角形は全く安定しないので内側に５角錐型の補強をするために、角面５本の12面で、軸を黒く塗りつぶした60本を用いる。そしてその内部にできる空間に小星型12面体をぴったりはめ込むのである。

■小星型12面体の線数は30本なのに、間違えて60本の軸を蛍光マーカーで塗ってしまっていたので、もう１つ小星型12面体だけの形も作って見た。ブラックライトを当てることで、黒く塗った補強部分は光らず、内部に浮いているように見えるはずだ。

　　　

■そしてこちらが右側から白熱電球の間接証明の光、ブラックライトも重ねてみたもの、ブラックライトのみを当てた画像。

　　　

■右側が内部に入っている綿棒で作った小星型12面体と同じ形。左側はその実際の形。アップで見るともっさりしているけれど、基本は同じ。そしてそのとげとげ部分を全部とり払えば、正12面体が出で来る。

　　　　■小星型12面体について

　　　

■小星型12面体についてもう少しだけ補足しておこう。この立体は辺長比が１：φ：φの３角形５枚からなる12個の尖った５角錐からなっている。この５角錐を全て取れば、正12面体が残る。また12個の頂点を繋ぐと、そこに正20面体が立ち上がる。

■背景の赤い３つの画像は、立体の真ん中に２重、３重、５重の回転対称軸が通る角度からのものである。平面の６芒星は立体に起こせばケプラーの星型８面体であるとよく表現されるが、この小星型12面体などもまた投影図が６芒星であることに注意。

(※)　なお画像の右下の蛍光綿棒による立体画像以外は、「立体図形の模型作り」( http://visual.at.webry.info/ )というブログから借用させて頂きました。

　　　

　　　　■小星型12面体について(2)

■たとえば正６面体のルート３エッジ（立体対角線）からケプラーの星型８面体を見るということに慣れて来た人もいると思うが、小星型12面体も（正確にはぴったりではないが）このように射影的には同じ構造に重ね見るイメージができるかできないかには大きな差異がある。

■この２者に共通しているのは、ルート３エッジに重ね合わせているところが３重回転対称性の軸であるということだ。また小星型12面体の頂点が正６面体構造の辺の黄金分割点に重ねてあること、及び正６面体の面心（面の中心）に重ねてあることについても注意すること。

2013.10.25 Friday