#164　０という数を知ってますか？…0と1と2と

■１■０が厄介至極なのは、無限大∞と対等にして真逆の双子の兄弟だからである。０は整数であり、有理数であり、実数である。０は正数でも負数でもなく、その中間にある。０は素数でも合成数でも単数でもない。だが０は奇数ではなく偶数である。０を自然数に含めるかどうかについては、未だ統一見解はない。０は空であり無でありあらゆるものの不在に対応する。位取り数記法では０は空位を表す数である。

■２■０は０だけでは意味を成さない。０でない何かとの対比によって初めて０が数となる。０ではない何かの最少単位が１である。０と１と聞くと、多くの人が先ずは現代文明の根幹の１つ、オフとオンの２進法的なテクノロジーを連想するだろう。『算盤の書』でフィボナッチ数列を示したピサのレオナルドは、実はその同じ本の中で１を神として崇め０を虚無として嫌悪していた西洋に０を持ち込んでいた。

■３■数の累乗において、指数が０の場合は必ず１となる。０と１との関係には、ストーカーのように常に無限が付いて回る。１を足したり引いたりをずっと繰り返す数列はいくつになるかという下の問題(1)の解はどうなるだろう。この数列は括り方によって(2)のように０とも、(3)のように１とも証明される。電気のスイッチを点けたり消したりした結果がどうなるかというようながさつな問題なのではあるが。

　　(1)１−１＋１−１＋１−１＋１−１＋１−１…
　　(2)（１−１）＋（１−１）＋（１−１）＋… →０＋０＋０＋…＝０
　　(3)１＋（−１＋１）＋（−１＋１）＋…　　 →１＋０＋０＋…＝１

■４■ニュートンとライプニッツが考案した微積分は非常に強力で有用だったが、０を０で割るという心もとない操作の上で成り立っていた。これらは０で割るという操作と２乗すると消える数に寄り掛かっていた。不細工な０／０が頻繁に顔を出した。極限の概念を生みだしてこれを解決したのは、百科全書で有名なダランベールだった。０ではなく論理的な極限で割る。無限小を２乗する誤魔化しは不要となった。

■５■やがて代数学者が２次方程式Ｘ^2＋１＝０の解として＋√−１と−√−１を見い出した。虚数である。一方で射影幾何学が生まれていた。リーマンはこの２つを融合させて、複素平面上に球を乗せ、その北極に光源を置けば球面状の図形は下の平面に陰を投げかけることに気付いた。球面状の円は、平面上の円と等価となる。しかし北極を通る円だけは、平面上では直線となる。これも０地点の特異性である。

2013.08.01 Thursday