#125　ベンフォードの法則

■１■日本語の言葉は沢山あるが、50音図上で考えればア行側の単語がワ行寄りの単語より多いということは、子供のころから知っていた。国語辞典を閉じて小口を見れば、利便性を考慮して「あ、い、う、え…」などと印刷してあるが、その厚さを比べればページ数の違いでそれは一目瞭然だ。アイウエオ順の名簿の名前やカーナビの検索などでもそれはある。では数詞にも出現率の多い少ないはあるのだろうか。

■２■10進法を構成する１〜９の自然数はいたる所で目にする。１桁の自然数の出現率は確率的にもほぼ均等なのあろうと直感的に思う。しかしさまざまな数のデータを集めて「数の辞書」のようなものを作っていると、最大桁の数字が１に近い数の方が９に近い数よりも明らかに多いことが分かる。しかもどうも後ろに行くほど頻度が少ない。数もまた国語辞典の場合のように、直感に反して偏りがあるのてある。

■３■1938年に物理学者ベンフォードが提唱した法則がある。自然界に出現する数字の最初の一桁目は １から９までが一様に出現するのではなく、数字が大きくなるにつれてその出現頻度が減っていくというものだ。決して単なる経験則ではなく、確率論の上に明確に根拠付けられている。最高位の数が＜ｐ＞である確率は、底を10として、log(１＋１／ｐ)とされている。詳細を省けば理論値は以下の通りになる。
　
■４■最初の桁が１である確率はほぼ３割にも達し、大きな数値ほど最初の桁に現れる確率は小さくなっていき、９になると最初の桁に現れる確率は１／20よりも小さくなる。１と２だけで47.7％と５割近くを占めており、３までだと60.2％とほぼ６割を占めている。またこの<１，２，３，４>の数字出現率69.9％を、５を間に挟んだ<６，７，８，９>の数字出現率22.2％で割ると3.1486…とπに近い値となる。

■５■この事実は各桁の数字の出現する可能性がいずれも等しいことと好対照である。ベンフォードの法則は計算して出た数や測定値の数字の場合や、データの数値のばらつきが大きい場合や、データサイズが大きい方が法則によく当てはまる。また無作為抽出のデータにもよく当てはまるが、これから大きくずれている場合、何らかの人為的操作が疑われ、データの不正処理の有無を判断する一つの指標となる。

■６■このベンフォードの法則には２つの特徴がある。すなわち「尺度の不変性」と「基数の不変性」である。ということは０以外の数値を掛けた数値であっても分布具合は同様となるということだ。例えば株価の通貨が円でもドルでもユーロでも構わないし、川の長さを表す単位がkmでもマイルでも構わないのである。また基数に関しては10進法だけではなく、他の一般的な基数でも比率は変化するが当てはまる。

■７■電気・ガス・水道などの料金請求書、株価、人口の出生や死亡率、住所の番地から物理・数学定数まで様々な数値の集合に適用できる。数値が対数的に分布している場合はベンフォードの法則が成り立つのだが、これは自然界では対数的な測定結果があらゆる場所に存在するということでもある。ただし偏った数表記となる電話帳や身長・体重・体脂肪率一覧表なども存在するので、その見極めは重要である。

2013.06.24 Monday