#118　５と６…10進法の２つの要

■１■ピュタゴラス学派では４段までの３角数の形である「テトラクティス」に重要な意味を持たせていたが、プラトンの後期の著書『ティマイオス』にも一見これに良く似た「プラトンのラムダ」というものが出てくる。ギリシア文字のラムダの小文字「λ」は形が漢字の「入」と似ているが、大文字「Λ」はちょうど３角形をした山頂の形をしており、この「Λ」の形の上に７つの数字が書き込まれているのだ。

■２■それにはトップに１を配し、左下方には２，４，８と２倍数列が、右下方には３，９，27と３倍数列が配されている。前者は女性数、後者は男性数とも呼ばれるが、このラムダの間も同じ仕様で埋めれば上図右のように１、２|３、４|６|９、８|12|18|27という形になる。ティマイオスという人物はピタゴラス派として描かれている。晩年のプラトンはソクラテスよりもむしろピタゴラスに近かったらしい。

【ピタゴラス音律】
「ソ」 ３^１／２^１＝１×３／２
「レ」 ３^２／２^３＝３／２×３／２×１／２
「ラ」 ３^３／２^４＝３^２／２^３×３／２
「ミ」 ３^４／２^６＝３^３／２^４×３／２×１／２
「シ」 ３^５／２^７＝３^４／２^６×３／２
「ファ」　３^６／２^９＝３^５／２^７×３／２×１／２

　　　

■３■もちろんこのラムダの数列はテトラクティス同様、下方にいくらでも伸ばすことができるが、基本的には４段までで事足りる。２と３の累乗からピュタゴラス音階はできている。この『ティマイオス』では、宇宙の構造は音楽ということで、ラムダ数をピュタゴラス音律にまで展開している。１オクターブ上音は周波数比が２倍。ドとソは通常、周波数比が２：３になる。波長でいうと１／２と１／３である。

■４■この周波数を３／２倍する操作を12回繰り返すと３¹²／２¹⁸＝2.02729…となり、２との間に誤差（ピュタゴラスのコンマ）が生じる。この誤差は３¹²／２¹⁹＝531441 ／ 524288で、セントにすると約23.46セント（半音の約１／４）だ。図を見ればすぐに分かるが、この２つの「数の正３角形」の中心の数は、「テトラクティス」が５、「プラトンのラムダ」が６である。５と６は10進法の表裏の要である。

　　　

■５■１桁の自然数では自明の１以外では５と６だけが何回累乗しても１の位が変化しない。なお黄金比と円周率自体の間には、６φ^２≒５πという関係がある。つまりφとπは５芒星と６芒星のみならず５と６の関係もあるということだ。この５π≒６φ^２がどれだけ近似しているかを見てみよう。５πと６φ^２の差異を24／100000に丸めて考えてみると、角度にして0.0864度となる(※1)。

■６■円周360度に対して１度の1／12ほどのずれなので、図ではほぼ表現不可能な差異である。なおこの５π≒６φ^２という式は１≒５π／６φ^２もしくは分母分子を入れ替えて１≒６φ^２／５πと書き表すことができる。差異を確認するために下に示したどちらの式も小数点以下８桁までに丸めると１±0.00001532となる。１を地球の１年365.242191日に対応させると誤差は8.057535分…つまり約８分ということになる。

　　　１≒６φ^２／５π＝１＋0.0000153211811294438540391539833…
　　　１≒５π／６φ^２＝１−0.0000153209463944490701852055693…

　　　

■７■８分は１日（24時間×60分＝1440分）の１／180である。太陽が地平線に頭出してから完全に離れるまでの時間はほぼぴったり２分だ。つまりこの誤差は地球の１年と、地上から見て太陽円盤が天空を４個分移動するだけの時間に相当するということになる。なお５π≒６φ^２という式は５≒６φ^２／π、６≒５π／φ^２、π≒６／５φ^２、φ２≒５／６π、１≒６φ^２／５πなどと様々に変形が可能である(※2)。

■８■５と６は様々なジャンルの様々なスケールでセットで機能する。正５角形もしくは５芒星はどこまでも展開していき、正６角形もしくは６芒星は結晶化して満たす。５はホロニックかつフラクタルに増殖する力を持ち、６は世界を充填して維持・安定させる力を持つ。バッキーボールやフラードームも３角形６枚の正６角形構造だけでは成り立たず、必ず３角形５枚の正５角形が正12面体の頂点の位置に入る。

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(※1)
π ＝3.1415926535897932384626433832795
φ ＝1.6180339887498948482045868343656
φ^２ ＝2.6180339887498948482045868343656

５π ＝15.707963267948966192313216916398
６φ^２ ＝15.708203932499369089227521006194
６φ^２−５π＝0.0002406645504028969143040897956

(※2)
５≒６φ^２／π 、π≒６／５φ^２、６／５≒π／φ^２
６≒５π／φ^２ 、φ^２≒５／６π、５／６≒φ２／π
12≒10π／φ^２、１／12≒φ^２／10π、１／６≒φ^２／５π
10≒12φ^２／π、１／10≒π／12φ^２、１／５≒π／６φ^２

６φ^２／π＝５＋0.0000766059056472192701957699167
５π／φ^２＝６−0.0000919256783666944211112334157

2013.06.17 Monday