#113　変形８芒星から３を見出す

■変形８芒星と名付けたこの形のある正方形を立方体の１面として捉え、３角形ＡＢＣを立方体内部の３角形ＡＢＤの投影図と見てみよう。するとＡＢを基本単位の１とすると、線分ＡＤ＋ＢＤは３となる。もう少し分かり易く表現すると、単位ユニットを「田」の字に４つ並べた形の立体対角線が３となるということだ。

■なお下図は８芒星と変形８芒星を正方形の内接円と外接円にはめ込んで、複素平面上に重ねたものである。複素数を拡張した数体系である４元数を４次元空間の回転を重ねて視覚的にとイメージしたものである。未だ単なる自分のためのメモの域を出でいないので、気にしないでください(^_^)。

　　　

■単位四元数は三次元球面Ｓ^３上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin(3)を与える。これは SU(2) に同型、あるいはまた SO(3) の普遍被覆に同型である。

■基底間の乗法　
　　ｉ^２＝ｊ^２＝ｋ^２＝ijk＝−１
　　ｉｊ＝ｋ、ｊｉ＝−ｋ
　　ｊｋ＝ｉ，ｋｊ＝−ｉ
　　ｋｉ＝ｊ，ｉｋ＝−ｊ

2013.06.11 Tuesday