#080　サークルゲノム

■図のように１つの単位円を描き、その中に直径比１／２の円を２つはめ込んだ時、その上下の隙間には直径比１／３の円がぴったりはまり込む。この直径比１／１：１／２：１／３の円の中心を結ぶと、赤線で示したように辺長比が３：４：５のピュタゴラスの直角３角形が描かれる。この円のシンプルな組み合わせから様々な関係を取り出すことができる図の素型を「サークルゲノム」と呼ぶことにする。

■なお１／２の円と１／３の円の間の４つの隙間には、さらに直径比１／６の円がぴったりはまり込むが、この１／６の円はまた図中の辺長比が３：４：５のピュタゴラスの直角３角形の中にもぴったり内接する。またさらにこの後も順次新しくできる隙間に円は収まっていく。一般に半径比１／２の円を１番目として、ｎ番目に内接する円の総数ｒは、ｒ＝１／｛２＋(ｎ−１)^２｝という式で求めることができる。

■ちなみに20番目の円の直径は、大円の直径の１／363となる。つまりこの大円の直径の上に20番目の円が３６３個並ぶということである。これに最初の大円も１つとして足すと、全てで364個になる。なおこの３種類の円が内接外接するサークルゲノムの、半径１／３の円の接点から図のように垂線を引き、そして大円と交差した点と大円の中心点を結ぶと、正４面体の中心角である109.5度（※1）が描ける。

■この角度は三角関数のarccos(-1/3)でも求められるが、そのような計算をせず、かつ分度器も用いずに、コンパスと定規だけでこの作図は可能である。(２０１)節でも見たメタンＣＨ４の中心にある炭素原子と４つの正４面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度もこの109.5度である。さらにこの補角（和すると平角180度になる角度）の70.5度（※1）は、正４面体の２面角、正６面体の中心角でもある。
　　
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（※１）より正確には109度28分16. 394…秒である。またこの角度は正８面体の２面角でもある。そして正４面体の２面角のより詳しい値は、70度31分606…秒である。

2013.05.09 Thursday