#081　３：４：５の音階と直角３角形

■４オクターブ＋３音を暦の１ヶ月と対応させた「月のフレーム」上の振動数比を見てみよう。すでにピュタゴラス音階では１オクターブ内に、基音Ｃに対して倍音、５度音程、４度音程の振動数比として１：２、２：３、３：４を見ている。次に第１オクターブの基音Ｃの振動数を１として整数倍列音を見てみよう。先ず第２オクターブの中に倍音のＣ、およびオクターブＧが、１：２：３として見て取れる。

■なお第２オクターブのＧと第３オクターブのＣおよびＥ（ソ・ド・ミ）の振動数は３：４：５となっている。また第４オクターブを見れば、Ｄ、Ｇ、Ｂ（レ・ソ・シ）の振動数比が９：12：15となっているから、３で割れば３：４：５であることが分かる。さらに第１オクターブのＣ、Ｆ、Ａ（ド・ファ・ラ）の振動数比は１：４／３：５／３だから、３倍すればこちらも３：４：５になっていることが分かる。

■３：４：５の比といえば、辺長比が３：４：５のピュタゴラスの直角３角形がすぐに連想される。(※1)このピュタゴラスの直角３角形にぴったり内接する円を想定すれば、その半径は１、直径は２なので、この３角形の中だけで１：２：３：４：５が出揃っている。鍵を押せば倍音も鳴るので振動数の比だけで考えれば、ド・ミ・ソ、ド・ファ・ラ、及びシ・レ・ソには３：４：５が含まれていることが分かる。

■なおＧ、Ｃ、Ｅ（ソ・ド・ミ）を同一オクターブ内のＣ、Ｅ、Ｇ（ド・ミ・ソ）として見れば振動数比は４：５：６である。またＣ、Ｆ、Ａ（ド・ファ・ラ）もＣをオクターブ（ファ・ラ・ド）で見れば４：５：６であり、さらにＤ、Ｇ、Ｂ（レ・ソ・シ）もＤをオクターブ（ソ・シ・レ）で見れば４：５：６である。つまり振動数比３：４：５はそのまま倍音を用いて６：４：５すなわち４：５：６でもある。

■これはまるでビュタゴラスのように、数の上の比だけで美しく響くであろう音の組み合わせを見つけたわけだが、結果を見れば音楽教育の最初に教わるド・ミ・ソ（４：５：６）、ド・ファ・ラ（３：４：５）、シ・レ・ソの和音（５：６：８）であることがわかる。この基音Ｃ及びＧのオクターブ系列は、頂点に１を置き、左に２の２倍進数を、右には３の２倍進数を連ねたプラトンのラムダ(※2)を想起させる。

■月のフレームに純正律で乗せた振動数比を10進法的な発想で眺めると、基音Ｃに対して３オクターブ上のＥは振動数が10倍になっている。同様にＦに対する３オクターブ上のＡ、およびＧに対する３オクターブ上のＢ（すべて24度上音である）の振動数はみな10倍になっていることに気づく。これらは上のド・ミ・ソ、ド・ファ・ラ、シ・レ・ソの振動数比３：４：５の５の倍音であることがわかる。

■この月のフレームには、すでにピュタゴラスの直角３角形に重ねてみたように、１：２：３：４：５が出揃っている。そして第３オクターブには６倍音があり、第４オクターブ内には８、９、10、12、15倍音もある。さらに第５オクダーブには半音の位置も含めると16、17、18、19、20倍音も存在した。しかしこの内部構造にも、通常の音階における不協和音と同様に７、11、13、14倍音は現れてこない。

……………………………………………………………………………………………

（※１）弦長比３：４：５の直角３角形に振動数比の３：４：５を対応させて見る場合、弦長と振動数は反比例する関係にあるが、ここはあえてシンプルに数値を長さに対応させていると考えてほしい。
（※２）プラトンのラムダは下図右側の６，12，18を除いたもの。なお左図はテトラクティスである。

2013.05.10 Friday