#071　クラドニパターンを立体上に見る

■クラドニパターンの球の表面、及びプラトン立体の表面への拡張を考えてみよう。多面体も内側から膨らませていけば、面・点・線と振動と振動を残したまま最終的に球体になる。クラドニパターンで最初の定常波パターンは１本の結節線ができて＋と−の振動が交互に生じていたが、理想的な球面上でできる線は方向は問わないが赤道のような大円になるだろう。赤道の北半球と南半球で振動の極性は逆になる。

■球体表面の振動数がさらに上がると、やがて受精卵の初期卵割のような形で、クラドニパターンは再分割して全体は４つの部分に分かれる。さらに振動数を上げると全体は８分割となるが、この形は正８面体を内部からその外接球まで膨らませた形に等しい。実際の受精細胞は、さらに16分割した後、32分割では表面の安定のために切頭20面体の形状に変形し、64分割以降は内胚葉と外胚葉に分かれていく。

■プラトン立体には正８面体の前に正４面体と正６面体があるが、そのままでは隣り合う面が全て逆の動きをすることは不可能なので、それぞれの各面をさらに分割する操作が必要となる。正４面体と正６面体の各面を分割することで、クラドニパターンを乗せるには、図のように正３角形と正方形を２分することで可能となる。また正３角形をさらに６分割、正方形を４分割・８分割していくという方法もある。

　　　

■次に正20面体及び正12面体上の振動とクラドニパターンについても考えてみよう。正20面体は１つの点に５本、正12面体は３本の線が集まるので、共にそのままでは各面を交互に振動させることはできない。正20面体各面の正３角形及び正12面体各面の正５角形の形状を保持したまま、それぞれの面を６分割及び10分割して線及び面を偶数にし、２色に塗り分けて分かりやすくしたものが下図である。

■この塗り分けされた２つの立体の表面は、共に120個の直角３角形からなっている。これらの立体の中心からその外接球にこの塗り分けパターンを射影すると、２つの立体とも同じパターンになる。実はこの形は「惑星グリッド」として知られる120面体と同じものである。諸条件の影響を排して地球を振動する理想的な球体と考えれば、惑星グリッド上に高次のクラドニパターンを想定することが可能である。

■図の左下は正12面体と正20面体の相貫体パターンに投射したものである。正20面体と正12面体の相貫体の頂点をつなぐと菱形30面体ができる。その30面全てに対角線を描き、交互に塗り分けたものを球面に投影すればやはり同じ立体になる。クラドニパターンと同型対応することで、惑星グリッドは細分化することができ、全体との関係を考慮に入れつつ、ローカルな部分を見ていくこともできるだろう。

2013.04.30 Tuesday