#070 クラドニパターンと周波数比
■ドイツの物理学者クラドニは、18世紀末頃から弦や棒の振動の研究を始め、やがて「音響学の父」と呼ばれるようになった。彼は水平に置いた板や膜が横振動をしている時にその上に砂を撒くと、その砂はほとんど振動しない節線に集まることを発見した。この砂が作る幾何学的形状はクラドニパターンと呼ばれている。上図は理想的な膜上のクラドニパターンと周波数の比率関係を示した実験結果である。
■ティンパニ型に張られた膜に、ドラムの周囲から中心に向かって１／４の点に震動源を据えて振動数を上げていき、膜上の砂が最初に円状になる時の周波数を基本の１とする。以下順次発生する幾何学的パターンと周波数を見ると、このパターンと周波数には一定の関係比があるのが分かる。なお膜の場合は弦の線的振動とは異なり面的振動なので、上音（基本音より高い音）の周波数は倍音関係にはない。
■弦の場合は振動中でも静止したままの節点があるのに対して、膜の場合には上下に振動しない節線が生じる。この節線には２種類のパターンがある。全体を２分する直径方向の節線パターン（ａ）と、ドラムヘッドの形からくる同心円の節線パターン（ｂ）だ。そしてこの２種類が組み合わさったパターンが間に顔を出している。上図ではこの２種類の節線を２つの数字（ａ
ｂ）という形で表現してある。
■弦の場合は振動中でも不動の節点があるのに対して、膜の場合には上下に振動しない節線が生じる。この節線には２種類のパターンがある。直径方向の節線パターン（ａ）と、ドラムヘッドと同心円の節線パターン（ｂ）、そしてその組み合わせパターンである。上図ではこの２種類の節線を２つの数字（ａ
ｂ）という形で表現し、また結節部の両側は逆方向に動くので、分かりやすいように塗り分けてある。
■ティンパニに限らず膜状の打楽器には素材や大きさや張力によって、基本の振動周波数が変わってしまう。基本モードの周波数は張力を２倍にすれば半オクターブ上がり、膜の直径を短くすれば高くなる。30cm径の膜の基本周波数は48cmのそれより60％高くなる。ただし素材や大きさや張力に係わらず、膜の基本振動数(※1)が決まれば、あとのクラドニパターンの周波数比と形状の関係は変わらない。
■膜上に発生する２種類の節線の内、全体を２分する直径方向の節線数は、基本のモードの<０,１>の０から始まって<１
１>，<２ １>，<３ １>，<４ １>，<５
１>，<６ １>で、１，２，３，４，５，６本となり、それぞれ膜面を２、４、６、８、10、12分割している。振動数比は基音の１に対して1.59、2.14、2.65、3.16、3.65、4.15で、各振動数間の差は0.59、0.55、0.51、0.51、0.49、0.5でほぼ0.5である。
■次のモード<７,１>の振動数比を予想すると4.65となるが、未確認なので今のところ見えない７として扱っておこう。同様に同心円パターンのモード<０
１>，<０ ２>，<０ ３>は同心円の数が、１，２，３である。こちらは<０
１>を基底の１として、周波数比が2.30、3.06と順次1.3
を加算した振動数と捉えられる。もし<０
４>を想定すれば、4.90となろうが、項数が少なすぎるので法則化はできない。
■振動に関しては次章「音」で詳しく見ていく予定なので、ここでは（５
１）が最初の振動数比に対して3.65倍になっていること、また（０
３）では3.60倍になっているという点にのみ注目しておきたい。最初のモード（０
１）の振動比を１ではなく100とおけば、シンプルに365と360となるということだが、その円の10分割や３重円という形の表れ方にも単なる偶然以上のものがあるように思える。
■これらのことはまた流体表面の振動や球面上の振動にも拡張することができる。流体層の振動を操作することによって正３角形・正６角形・長方形の格子・準結晶配列・複数形状の混合の定常波パターンを示すことができる。また観察することが難しかったために注目されてなかったが、球や立方体のような立体の振動共鳴系における共鳴形体の立体表面や内部に生じる多くの定常波パターンも想定できよう。
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（※１）周波数比の基音の振動数は次の式で与えられる。ｆ１＝（0.765／２ａ）×（Ｔ／ρ）^１／２（ａは膜の半径、Ｔは膜の縁の単位長あたりの張力、ρは膜の面密度） ところでこの0.765／２（＝0.3825）は１／φ^２（＝0.3819…）に近似している。また１−0.765は0.235で235朔望周期＝19年のメトン周期を連想させる。さらに0.765／２＝153／400でもあるが、153の平方根は12.3693…で、１年の間の月の朔望周期回数にほぼ等しい。 0.765／２＝153／400 200＝153＋47。
2013.04.29
Monday
  
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