#063　プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体

■正３角形と正方形は、すぐ隣りの頂点を飛び越して頂点をつないだ図形を描こうとしても不可能だ。正５角形で初めて５芒星が描け、正６角形には正３角形２つからなる６芒星が描ける。正７角形には１つ飛ばしの太った７芒星と２つ飛ばしの痩せた７芒星が描け、正８角形には１つ飛ばしで正方形２つからなる８芒星、２つ飛ばしでひと筆書きの８芒星ができる。以下、正９角形以降も同様に多芒星が描ける。

■２次元平面の多角形には１角形・２角形がなく３番目の３角形から始まっている。同様に多芒星には３芒星・４芒星がなく３番目の５芒星から始まっている。３次元空間のプラトン立体とケプラー・ポアンソ立体の関係もこの多角形と多芒星の関係に似ている。ただしプラトン立体にはさらに面の数が正３・４・５角形だけに限られ、そして点に集まる線の数も３・４・５本だけが許されるという制限があった。

　　　

■プラトン立体には、正４面体・正６面体・正８面体・正12面体・正20面体の５種類しか知られてなかった。しかしケプラーは正12面体と正20面体の辺を星型化することにより、1619年に小星型12面体と大星型12面体の２つを発見した。またほぼ２世紀後の1809年に、ポアンソがその双対立体である大12面体と大20面体の２つを発見した(※1)。この４立体をまとめてケプラー・ポアンソ立体と呼ぶ。

■プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体の最大の違いは、前者が凸多面体であるのに対し後者は凹多面体であるということだ。なお正12面体と正20面体及び４つのケプラー・ポアンソ立体は、みな黄金比を生む５重回転対称性を持つ。ここでこの９立体を戯れに10進法の１〜５まで及び６〜９までの数と対応させてみる発想は、さほど悪趣味ではなかろう。なお数字の０に当たるものには球体を据えてみた。

　　　

■プラトン立体の定義を緩めて、面が同一ではなく複数の正多角形でも良いアルキメデス立体は13種類あった。この双対立体のカタラン立体も13種類あるので合わせると26種類になる。また全ての面が正３角形の凸多面体のデルタ多面体は全部で８種類（３種類はプラトン立体）ある。さらに面が全て同一の菱形のみで構成されている等面菱形多面体は４種類存在する。星型多面体はここでは言及しない。

■全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体のうちで、プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱を除いた立体をジョンソン・ザルガラー立体と言う。これらは全部で92種類あるが、この92という数は自然界に存在する最大の元素ウランの原子番号（陽子数）や、正４面体を除く４つのプラトン立体の面と点の総和数などを想起させる興味ある数である。

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（※１）1811年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーが星型正多面体は全部でこの４種類しかないことを証明した。

2013.04.22 Monday