#062　ベクトル平衡体から正20面体へ

■「１つの球体に同じ大きさの球体は最大いくつ接することができるか？」という最密パッキング問題の、３次元空間における解は12個だった。この時、外側の12個の球の重心をつなぐと、13種類あるアルキメデス立体の１つである立方８面体になる。この立体は各頂点間の距離も各頂点と重心との距離も全て等しい非常に安定した形状なので、バックミンスター・フラーはこれをベクトル平衡体と呼んだ。

■ベクトル平衡体の要素は点12、線24、そして正８面体由来の正３角形の８面と正６面体由来の正方形が６面で合計14面である。ベクトル平衡体には整数次の殻ができる。殻とはこの各面が、稜線部分の数は重なるが、それぞれ３角数と４角数として増大していくと考えることもできる。第１層は12、第２層は42だから中心の１個も数に入れると（１＋12＋42＝）55となる。55は10の３角数でもある。

　　　

■ベクトル平衡体の第ｎ層の総数は<10・ｎ^２＋２>で表される。第３層の92は自然界に存在する最大の元素Ｕ：ウランの元素番号でもある。以降第４層は162、第５層252、第６層362…という具合に続く。ベクトル平衡体の第ｎ殻の総数がｎ２乗の10倍に２を足すとは、人間の精神構造が10進法をベースにしつつ世界を12で括り閉じていると捉えることとも深く関わっていることの目に見える形ではないだろうか。

　　　

■３次元図形を軸を中心に360度回転した時、２回以上の整数で対称性を取り戻す時、その軸を回転対称軸という。プラトン立体の回転対称軸の総数はその要素である点・線・面の総数の半分である。正４面体は点と面と線の総和が４＋４＋６＝14なので、回転対称軸はその半分の７本だ。正６面体と正８面体の要素の和は26なので、その半分の13本だった。そして正12面体と正20面体は62の半分の31本である。

■正４面体を自己相貫させると正６面体と正８面体が生じた。しかし同様にして正６面体と正８面体を相貫させても、そこから正12面体と正20面体は生まれない。正12面体はその各面が正５角形であり、正20面体は各頂点に５本の線が集まっている。この形状からも分かる通り、この２立体は黄金比を生む５重対称性を持つ。ではいかにしてプラトン立体の正12面体と正20面体に繋げることができるのだろうか。

　　　

■図中央に示したように正４面体を５重に自己相貫させると、正12面体と正20面体へと繋ぐことができる。図左はその頂点を繋ぐと正12面体となることを示したものであり、図右は内部で５重に重畳している部分が正20面体であることを示している。また正６面体の５重自己相貫体の頂点を繋いでも正12面体となる。しかし正８面体の５重自己相貫体の頂点を繋いでも正12面体とはならず、20−12面体となる。

　　　

■また正６面体及び正８面体に中接するベクトル平衡体を変形して正20面体に至るという方法もある。１つの球体に12個の球体が接した細密パッキングの形から、中心にあって見えない13個目の球体を取り除けばそこに空間ができる。すると残る12個の球体はそのスペースを埋めるように少しずつ移動して安定する。その変形後の12個の球体の重心を結べば、その形は正12面体の12個の頂点であることが分かる。

　　　

■基本的にはこの最密パッキングの13個の球から中心の１個を抜き出す操作と同じことだが、正６面体と正８面体から正20面体を切りだす操作を簡単に見てみよう。正６面体の各面を直交３軸方向に２分する線を、それぞれ１から１／φに縮めて、その12の端点を結ぶと正20面体になる（図左）。また正８面体の各面の面積が１／４だった正３角形の各点を、稜線の１／２の位置からφ／２の位置までスライドさせると、正方形の面も２つの正３角形に折れて正20面体となる（図右）。

2013.04.21 Sunday