#061 ルービックキューブを見直してみる
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■3×3×3の正6面体を見て、ルービックキューブを連想する人は多いだろう。そもそもこの立体パズルはハンガリーの建築学者エルノー・ルービックが1974年に、3次元幾何学を説明するための動くモデルとして考案したもので、数学的には群論とも関連が深いものだ。しかし現在ではそのパズル的側面が前面に出て、いかに速く解くかを競うことが主流になっている。2010年の7月に米国のグループによるコンピューター解析により、最短20手で全面が揃うということが示された。
■しかしここではその解法の説明ではなく、このルービックキューブそのものの構造について見てみよう。正6面体は点4・線12・面6・胞1の合計27の要素からなっている。ルービックキューブでは点の位置にあるものをコーナーキューブ、線の中心位置にあるものをエッジキューブ、面の中心位置にあるものをセンターキューブと呼ぶ。残る1つは重心位置にあるが、それぞれの点・線・面・胞の0・1・2・3次元とは逆に、小キューブの見える面数は3・2・1・0となっている。
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■またこの小キューブの見える面の数は(9×6=)54面で、27の倍になっている。実はこのルービックキューブは見えている全ての面がその位置を移動できるのではなく、構造上センターキューブ及び重心の位置にある小キューブは回転はしてもその位置は変わらない。その合計7個のユニットだけを抽出すると、上図中央のように直交3軸のいわば立体十字架のような形状になる。そしてこの部分を取り外した稼動部分のみを示すと、上図右のような形状となり、全部で20ピースとなる。
■このように直交3軸方向の立体十字架的な中心の7ユニットがない、全部で2 身ースの小キューブからなる立体パズルも存在しており、ボイドキューブという名前ですでに商品化されている。なおこの操作の結果としてできる20ピースの小キューブのそれぞれにまた順次同様の操作を繰り返していくと、メンガー・スポンジと呼ばれる自己相似なフラクタル立体の一種となる。したがって最初の立体十字架を抜いた形状は、表現を変えるとメンガースポンジのステップ1と同じ形である。
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■このメンガースポンジの各ステップごとのフラクタルな正6面体の個数を見ていくと、ステップ0は1個、ステップ1は20個、ステップ2は400個、ステップ3は8000個…と増えていく。つまりそのユニット数は単純な20進法の桁数として表れてくるということだ。この再帰的な穴あけ操作を無限に繰り返すと、理論的にはこの立体の体積が最終的には0になってしまう。このメンガースポンジのフラクタル次元は2.7次元(より正確には
log20/log3=2.726833…次元)である。
■この構造はまたフォトニックフラクタルとも呼ばれている。光造形システム(※1)で成型した27mm角で約9gのメンガースポンジ(ステージ3)を作り、8ギガHzの電磁波を照射すると、反射も透過もせずに10−7秒間中心部の空洞に残っていた。穴を開けていないものだと反射も透過もした。大きさや材質を変える事で、電磁波の周波数も変えられるので、理論的には光の貯蔵も可能ということになる。しかし単純な素材と構造だけで,なぜこのような働きをするのかは未解明のままである。
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(※1)酸化チタン系の微粒子を混ぜたエポキシ樹脂の立方体。信州大理学部の武田三男教授と本田勝也教授,大阪大接合科学研究所の宮本欽生教授らの発表による。
2013.04.20
Saturday
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