#061　ルービックキューブを見直してみる

■３×３×３の正６面体を見て、ルービックキューブを連想する人は多いだろう。そもそもこの立体パズルはハンガリーの建築学者エルノー・ルービックが1974年に、３次元幾何学を説明するための動くモデルとして考案したもので、数学的には群論とも関連が深いものだ。しかし現在ではそのパズル的側面が前面に出て、いかに速く解くかを競うことが主流になっている。2010年の７月に米国のグループによるコンピューター解析により、最短20手で全面が揃うということが示された。

■しかしここではその解法の説明ではなく、このルービックキューブそのものの構造について見てみよう。正６面体は点４・線12・面６・胞１の合計27の要素からなっている。ルービックキューブでは点の位置にあるものをコーナーキューブ、線の中心位置にあるものをエッジキューブ、面の中心位置にあるものをセンターキューブと呼ぶ。残る１つは重心位置にあるが、それぞれの点・線・面・胞の０・１・２・３次元とは逆に、小キューブの見える面数は３・２・１・０となっている。

　　　

■またこの小キューブの見える面の数は（９×６＝）54面で、27の倍になっている。実はこのルービックキューブは見えている全ての面がその位置を移動できるのではなく、構造上センターキューブ及び重心の位置にある小キューブは回転はしてもその位置は変わらない。その合計７個のユニットだけを抽出すると、上図中央のように直交３軸のいわば立体十字架のような形状になる。そしてこの部分を取り外した稼動部分のみを示すと、上図右のような形状となり、全部で20ピースとなる。

■このように直交３軸方向の立体十字架的な中心の７ユニットがない、全部で2　身ースの小キューブからなる立体パズルも存在しており、ボイドキューブという名前ですでに商品化されている。なおこの操作の結果としてできる20ピースの小キューブのそれぞれにまた順次同様の操作を繰り返していくと、メンガー・スポンジと呼ばれる自己相似なフラクタル立体の一種となる。したがって最初の立体十字架を抜いた形状は、表現を変えるとメンガースポンジのステップ１と同じ形である。

　　　

■このメンガースポンジの各ステップごとのフラクタルな正６面体の個数を見ていくと、ステップ０は１個、ステップ１は20個、ステップ２は400個、ステップ３は8000個…と増えていく。つまりそのユニット数は単純な20進法の桁数として表れてくるということだ。この再帰的な穴あけ操作を無限に繰り返すと、理論的にはこの立体の体積が最終的には０になってしまう。このメンガースポンジのフラクタル次元は２.７次元（より正確には log20／log３＝2.726833…次元）である。

■この構造はまたフォトニックフラクタルとも呼ばれている。光造形システム(※1)で成型した27mm角で約９ｇのメンガースポンジ（ステージ３）を作り、８ギガHzの電磁波を照射すると、反射も透過もせずに10−７秒間中心部の空洞に残っていた。穴を開けていないものだと反射も透過もした。大きさや材質を変える事で、電磁波の周波数も変えられるので、理論的には光の貯蔵も可能ということになる。しかし単純な素材と構造だけで，なぜこのような働きをするのかは未解明のままである。

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（※１）酸化チタン系の微粒子を混ぜたエポキシ樹脂の立方体。信州大理学部の武田三男教授と本田勝也教授，大阪大接合科学研究所の宮本欽生教授らの発表による。

2013.04.20 Saturday