#059　プラトン立体サイコロと３６５

■サイコロといえば私たちは普通、立方体の各面に１から６までのサイの目をつけた正６面体のサイコロを連想する。ところでこの正６面体は５つのプラトン立体のうちの１つである。そこでその他の正４面体、正８面体、正12面体、正20面体にも各面に１からその面数までの数を記したプラトン立体サイコロというものを考えてみよう。これらは実際に商品化されているので、その気になればすぐ入手できる。

■ではまずこのプラトン立体サイコロの目の数を全部足してみよう。この操作は３角数を出すことと同じである。つまり１からその立体の面数までの和を出せばいいのだ。正４面体が１＋２＋３＋４＝10、正６面体が１＋２＋３＋４＋５＋６＝21、正８面体が１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝36。同様にして正12面体は78、正20面体は210となる。そして５つの立体の総和は10＋21＋36＋78＋210＝355となる。

　　　

■ところで月の朔望周期29.5日の12回分は354日であり、自転・公転周期27.3日の13回分は355日だった。すなわち５つのプラトン立体サイコロの全ての面に書かれている数の総和である355は、太陰暦の１年つまり354日に１日を足した数、及び月の13自転・公転周期に等しいのである。なお１〜４の４乗数の和も（１^4＋２^4＋３^4＋４^4＝）354である。ここにもペンターブシステムを見ることができる。

■先にプラトン立体を５種類ではなく３組の双対関係にある６種としても捉えられると述べた。そこでこの考え方に則って、５つではなく６つのプラトン立体サイコロの全ての目の合計を数えてみよう。すると双対関係にある３組６種のプラトン立体立体サイコロの目の総和は、もう１つの正４面体サイコロ分の10が加わって、１年の日数に等しい365となる。５か６かはまた、太陰暦か太陽暦かでもあるのだ。

　　　

■この月の13自転・公転周期と地球の１年に対応する355と365という数は、古代のマヤやエジプトなど世界各地で暦の基本でもあった360という数に対して、プラスマイナス５の対称性として見ることもできる。なおプラスマイナス６である354と366という数には、月の12朔望周期の354日と地球の１年間の自転回数である366回が対応すると見て取ることができよう。ここにも５と６のセットが存在している。

■プラトン立体の３組の双対関係の線数とその３角数についても考えてみよう。正12面体及び正20面体の線数は30で、その３角数は465である。この465は６種のプラトン立体サイコロの目の総和365と、プラトン立体の面と点の総和100の和に等しい。またこの465から正６面体及び正８面体の線数12の３角数78と、正４面体の線数６の３角数21を引くと366になる。この366は地球の１年間の自転回数である。

　　　465＝365＋100
　　　465−（78＋21）＝366

　　　

■面(点)の総数、３角数と見てきたので、４角数についても見てみよう。正６面体と正８面体の面数の４角数の和は100(＝36＋64)である。これに正４面体の面数４の４角数16を加えると116で、水星の会合周期日と同じ数になる。さらに正12面体の面数12の４角数144を加えると、マヤの神聖暦ツォルキンの260となる。いずれにしても、プラトン立体から重要な周期の数が出てくるのは不思議ではなかろうか。

■またプラトン立体５つの線数の４角数の和は36＋144＋144＋900＋900＝2124だが、こちらも正４面体に対性を認めるならば2160となる。2160はマヤの計時単位の６トゥン（360×６）であり、また惑星歳差運動周期25920年の１／12、つまり黄道12宮の１つを春分点が移動するのに要する年数でもある。2160は６の３乗、もしくは３，４，５の３乗の和である216の10倍でもある。

2013.04.18 Thursday