#056 プラトン立体と3−4−5

    

■互いに面点変換できる双対の関係が3種あることから、自身と双対である正4面体を1つでなく2つと数えることにより、プラトン立体の種類を5種ではなく6種として扱う捉え方もある。これとは別にプラトン立体そのものを「3−4−5」として見る捉え方にも2つの系統がある。それを表の「1つの面の正多角形の角数」と「1つの頂点に集まる線の数」として示した部分でもう少し詳しく見てみよう。

■正4面体を1種と捉えても2種と捉えてもよいが、プラトン立体は大きく2つのグループに分けられる。まず<正4面体・正6面体・正12面体>のグループでは、その各面の形がそれぞれ順に<正3角形・正4角形・正5角形>になっている。そしてもう一方の<正4面体・正8面体・正20面体>のグループの面の形はみな正3角形だが、各頂点に集まる線の数はそれぞれ<3本・4本・5本>になっているのである。

   

■では6以上の数は有り得ないのだろうか。各面が正6角形だとどこまでも正6角形で埋め尽くされて平面になってしまい、内と外を分ける立体にはならない。また各点に6本の線が集まると、同様に正3角形で埋め尽くされる平面となってしまって立体にはなり得ないのである。なお1つの点に1本の線、2本の線が集まっても面は作れないし、同様に1角形2角形は存在しないので、1と2もないのである。

   

■3,4,5と言えば辺長比が3:4:5の「ピュタゴラスの直角3角形」が連想される。この3角形はまた「エジプトの3角形」とも呼ばれている。古代のエジプト人が毎年起こるナイル川の氾濫の後に、間隔が等距離の13個の結び目がついたロープを用いて測地していたという説がある。その真偽の程はさて置いても、この3角形は実際にギリシア人よりエジプト人の方が先に知っていたことは確実らしい。

■この開いたままなら13の結び目が閉じると12となるということも、12と13の捉え方の違いに通じるだろう。この辺長比が3:4:5のエジプトの直角3角形の3辺の和は12であり、3辺の積は60となる。シュメール・バビロニア及びエジプト起源と考えられている12−60進法の1つの基本的概念の目に見える形であろう。またこの3辺の2乗の和は50、積は3600であり、また3乗の和は6の3乗の216に等しい。

2013.04.02 Tuesday