#056　プラトン立体と３−４−５

■互いに面点変換できる双対の関係が３種あることから、自身と双対である正４面体を１つでなく２つと数えることにより、プラトン立体の種類を５種ではなく６種として扱う捉え方もある。これとは別にプラトン立体そのものを「３−４−５」として見る捉え方にも２つの系統がある。それを表の「１つの面の正多角形の角数」と「１つの頂点に集まる線の数」として示した部分でもう少し詳しく見てみよう。

■正４面体を１種と捉えても２種と捉えてもよいが、プラトン立体は大きく２つのグループに分けられる。まず<正４面体・正６面体・正12面体>のグループでは、その各面の形がそれぞれ順に<正３角形・正４角形・正５角形>になっている。そしてもう一方の<正４面体・正８面体・正20面体>のグループの面の形はみな正３角形だが、各頂点に集まる線の数はそれぞれ<３本・４本・５本>になっているのである。

　　　

■では６以上の数は有り得ないのだろうか。各面が正６角形だとどこまでも正６角形で埋め尽くされて平面になってしまい、内と外を分ける立体にはならない。また各点に６本の線が集まると、同様に正３角形で埋め尽くされる平面となってしまって立体にはなり得ないのである。なお１つの点に１本の線、２本の線が集まっても面は作れないし、同様に１角形２角形は存在しないので、１と２もないのである。

　　　

■３,４,５と言えば辺長比が３：４：５の「ピュタゴラスの直角３角形」が連想される。この３角形はまた「エジプトの３角形」とも呼ばれている。古代のエジプト人が毎年起こるナイル川の氾濫の後に、間隔が等距離の13個の結び目がついたロープを用いて測地していたという説がある。その真偽の程はさて置いても、この３角形は実際にギリシア人よりエジプト人の方が先に知っていたことは確実らしい。

■この開いたままなら13の結び目が閉じると12となるということも、12と13の捉え方の違いに通じるだろう。この辺長比が３：４：５のエジプトの直角３角形の３辺の和は12であり、３辺の積は60となる。シュメール・バビロニア及びエジプト起源と考えられている12−60進法の１つの基本的概念の目に見える形であろう。またこの３辺の２乗の和は50、積は3600であり、また３乗の和は６の３乗の216に等しい。

2013.04.02 Tuesday