#053　正６面体−正８面体の系の体積比

■プラトン立体やアルキメデス立体などには、その面・点・線や角度や比率などの関係性はあるが、本来固定した大きさや体積というものはない。１辺が１ナノメートルでも１天文単位に設定しても正４面体は正４面体であり、その２面角や中心角や回転対称軸は変わらない。それでも１つの立体の辺長や接球半径を固定することで、立体同士の間の整然とした空間占有比（体積比）を見て取ることができる。

■私たちが最も馴染み深い空間の３軸直交を体現している正６面体を、体積６の基本フレームとして見ていこう。まずこの正６面体に内接する正８面体を想定すると、その体積比は基本単位の１となる。次に正６面体にはまり込んでいる正４面体を考えると、その体積比は２となる。またこの正４面体の自己相貫体であるケプラーの星形８面体の体積比は３となる。正８面体は２つの正４面体の重畳部である。

　　　

■最初に基本フレームとした正６面体の各線心（線の中心）を結んでできるベクトル平衡体の体積比は５である。また正６面体と12個の線心同士で直交する正８面体の体積は８となる。そしてこの体積比が６：８＝３：４の正６面体と正８面体の相貫体は体積比が９である。最後にこの正８・６相貫体の頂点を結んでできる立体は菱形12面体と言い、体積比は12である。なんとも整然とした体積比の関係である。

■正４面体の双対立体は自分自身だから、正４面体を自己相貫させた形のケプラーの星型８面体の重畳部分に正８面体があり、頂点を結んでできる立体が正６面体で、体積比は１：３：６である。また双対立体である正６面体と正８面体の相貫体は正８・６相貫体で、その重畳部分がベクトル平衡体であり、頂点を結んでできる立体が菱形12面体である。こちらの体積比は５：９：12となっている。

　　　

■プラトン立体には外・中・内の３接球がある。これらの体積比を３接球を介して見ることもできる。体積比が１：６の正８面体と正６面体の関係は、正８面体の外接球が正６面体の内接球と等しい。このように双対立体の面点変換とは、互いの内接球と外接球を介してミクロ・マクロ双方向にも無限連結させられることが分かる。つまり双対立体とは２つで１つのトーラス体のようなものとも解せられよう。

■体積比１の小さい正８面体の外接球は正４面体の中接球でもあるので、正４面体の中にはまり込んでいるようにも見える。正４面体と正６面体は外接球を共有しているが、正４面体の中接球は小さい正８面体の外接球であり、正６面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。また正６面体と中接球を共有させた正８面体の体積は８であり、中接球を共有させて相貫させた正８・６相貫体の体積は９である。

　　　

■10進法もしくは12進法を用いている私たちの目には、そしてこの正６面体を基本の体積６としたこの系もまた、ちょうどその２倍の体積12である菱形12面体をもって１つの臨界を迎えている。なおこの自然数で見て取れる体積比の関係には、４と７に相当する美しい立体は見当たらない。このことは電子の配置や空間の対称性と共に、直接ではないが音楽で言うところの「ヨナ抜き音階」を連想させられる。

■音楽関係者には釈迦に説法だが、ヨナ抜き音階とは五音音階の１つである。明治時代に洋楽の７音階をドレミファ…ではなく、ヒ・フ・ミ・ヨ・イ・ム・ナと称したが、この第４音（ファ）と第７音（シ）を抜いたド・レ・ミ・ソ・ラの音階のことだ。西洋中心の便宜的な俗称であり、詳細は避けるがいくつかのタイプがあり、アジア各地，ヨーロッパ周辺部，米インディアン等の音楽の特徴となっている。

■アルキメデス立体には正４面体の各辺の１／３部分から各頂点部を切り取った切頭４面体という立体があり、その双対立体に三方４面体という立体がある。正６面体の重心から各面を介して内部を外側に反転させた形でもある菱形12面体のように、正４面体の重心から各面を介して内部を外側に反転させて体積が２倍になった立体は体積比４である。この立体は三方４面体に実によく似ているが微妙に異なる。

　　　

■遥か昔に、半田kohsen氏と基本の立体は何かという話をしたことがある。彼はヌーソロジーの流れから、基本の中心核となる立体は正８面体になると言い、私はバックミンスター・フラーの多面体構造に対する考え方を元に正４面体ではないかと話した。以来長いこと多面体や幾何学的な話をしていないが、今ではどちらも正しいことが分かる。そして数は１でも２でもなく３から始まるのだということも。

■バックミンスター・フラーは多面体の基本単位を、直交３軸の正６面体の１辺ではなく正４面体の１辺にすべきだと主張している。確かに正４面体の１辺を基本の１として辺長が等しい正４面体と正８面体を考えれば体積比が１：４であることや、同じく正４面体とベクトル平衡体の体積比が１：20であることは複雑計算をしなくても見て取れる。どちらの考え方も自在に使えれば自由度はさらに増すだろう。

2013.03.31 Sunday