#054　プラトン立体と双対の５の構造

■５つのプラトン立体の間には、<正４面体⇔正４面体>、<正６面体⇔正８面体>、<正12面体⇔正20面体>という３組の双対関係があった。すでに見たように正逆２つの正４面体を自己相貫させるとケプラーの星型８面体となり、内部に正８面体、外部に正６面体ができた。そしてこの正６面体と正８面体を中接球共有で相貫させると、正８−６相貫体となり、内部にベクトル平衡体、外部に菱形12面体ができた。

■同様に正12面体と正20面体を中接球共有で相貫させると正20−12相貫体という立体なる。この２立体の内部にできる重畳部分は20-12面体となり、外部の32頂点を結ぶと菱形30面体という多面体ができる。またここで新たに内と外にできる３つの対性、つまり<正６面体⇔正８面体>、<ベクトル平衡体⇔菱形12面体>、及び<12・20面体⇔菱形30面体>もまた、面点変換が可能な双対立体の関係にあるのである。

　　　

■これらプラトン立体における３組の双対関係は、中心に双対立体の相貫体を置き、上下に外部と内部にできる立体を置くことで、同じ５つで１つというペンターブの構造を持つものとして捉えることができる。なおベクトル平衡体と菱形12面体はプラトン立体ではなくアルキメデス立体なので中接球は存在しないが、共に24本の線があるので上手く全ての線同士を直交させることで相貫体を作ることができる。

■なお<正４面体⇔正４面体>の相貫体の全ての頂点をつないでできる正６面体の各面は対角線の比率が１：１の正方形である。また<正６面体⇔正８面体>の相貫体の外側にできる菱形12面体の各面は対角線比が１：√２の菱形である。そして<正12面体⇔正20面体>の相貫体の外側にできる菱形30面体の各面は、対角線比が１：φの菱形からできている。こう並べると正方形が菱形の特別形であることが分かる。

2013.04.01 Monday