#052　正４面体から正６面体と正８面体へ

■正４面体も含む５つのプラトン立体にはみな３種類の接球がある。この３接球を正４面体を例に見ていこう。図左の球体は正４面体の全ての頂点とだけで接する外接球であり、中央の球体は正４面体の全ての線心（線の中央）と接する中接球であり、右の球体がこの正４面体の全ての面心（面の中央）と接する内接球である。これら３接球の半径比率は、外接球：中接球：内接球＝√３：１：√３／３である。

■平方根で表現すると感覚的に分かり難い人のために表現を変えると、外接球と内接球の半径比は３：１であるということだ。したがってこの２つの接球の表面積比は９：１、体積比は27：１となる。もしくはルービックキューブの全体と１ピースの関係と考えれば分かりやすいだろう。なお中接球半径を１とした時、外接球と内接球の半径比は逆数の関係になっているので、掛け合わせると中接球の１になる。

　　　

■ところで正４面体そのものを内側に面点変換すると、小さな逆向きの正４面体ができるが、この小さな正４面体の外接球は最初の正４面体の内接球と同じである。また逆に外側に面点変換すれば、変換後の大きい正４面体の内接球は最初の正４面体の外接球と重なる。このミクロ・マクロ双方向に繰り返す面点変換のそれぞれの間に中接球が入り込むのだが、連続する中接球の半径比は…９：３：１…である。

■３つの接球の１つである中接球を共有させて、２つの正４面体を対称的な位置で相貫させてみよう。するとこの２つの正４面体の６辺同士がすべて直交して、ケプラーの星型８面体と呼ばれる図の中央の形になる。この図からも正４面体の６本の線は、外接球を共有する正６面体のすべての面の対角線となっていること、そして元の正４面体の中接球がこの正６面体の内接球になっているが分かるだろう。

　　　

■図の中央は同じくケプラーの星型８面体だが、この８つの頂点を結んでできる正６面体を強調したのが左図であり、相貫した２つの正４面体の重畳する部分が正８面体であることを強調したのが右図である。左側の正６面体は中央の星型正８面体の外接球を共有し、右側の正８面体は外接球を星型正８面体の中接球と共有している。またこの中央の図を取り去れば、正６面体と正８面体の面点変換の図になる。

2013.03.30 Saturday