#051　そもそも正４面体とは何か

■人間の視覚系は絶え間なくパターンを見つけようとする。最もシンプルな例は、近
接した点と点を結びつけて線として認識してしまうことだ。これは意識する前になさ
れている無意識的な操作であり、実際には何もないところにまで見えてしまう関係線
は、通常錯視として解釈されている。しかし単なる進化過程の勇み足ではなく、視覚
の原初的反応と直接関係を持った、時空を超えた能力なのかもしれない。

■先ず点が１つ。「点」は０次元である。次に点が２つ。２点の間に関係線が引かれ
る。「線」は１次元だ。点が３個だとこれらをつないで正３角形の「面」ができる。
２次元である。さらにもう１つ点を加えよう。４つの点を６本の力線がつなぐと、外
部と内部を分ける正４面体ができる。３次元である。余計な設定がなければ各点と各
線は単純で安定した位置関係を保ち、それが最も対称性が高い形となる。

■それにしてもそもそも正４面体とは何だろう。自然界は無駄をしないという表現が
あるが、正４面体は最小の素材、つまり４の点・４つの面・６本の線で、３次元空間
を内と外の２つに区分する単位ユニットだ。この内側の閉鎖空間を専門用語で「胞」
という。この立体に対する視座は外側からだけでなく、内部側にも想定できる。この
内と外という交換可能な双対があって初めて立体は存在できるのである。

　　　

■「４面体は宇宙で最も単純な最小の構造システムである」とバックミンスター・フ
ラーは言った。あらゆる多面体は４面体を構成要素として再分割できるが、４面体よ
り少ない構成要素の多面体には分割できない。また自然のあらゆる構造が４面体から
形成されていることを化学者や治金学者や生物学者たちは発見した。この様々な４面
体のバリエーションの中で最も対称性が高いものが正４面体である。

■幾何学的に言えば、正４面体は５つあるプラトン立体（正多面体）の内の１つで、
内接球・中接球・外接球の３接球を持ち、また７本の回転対称軸を持っている。５つ
のプラトン立体において、正６面体と正８面体、正12面体と正20面体という双対関係
の立体があるが、正４面体だけは自分自身と双対の関係である。直角90度から19.5度
引いた70.5度の２面角と、19.5度足した109.5度の中心角を持つ。

■正４面体はそれぞれ面・点・線の強調によっても表現できる。まず面の強調では正
３角形４枚を組み合わせることで下図左のような正４面体ができあがる。また点の強
調では同じ大きさの球体４つを互いに接するようにして積むと図中央のような正４面
体となる。（重心をつないだ形に注目。）線の強調では同じ長さの６本の棒を１点に
３本が集まるようにつなげば、図右のようなフレームの正４面体となる。

　　　

■正４面体が点・線・面で結合することで異なる構造と特性を持つものが生まれ、さ
らに胞を交差・相貫させることで他の多面体を生成していく。例えば双対に交差させ
て頂点をつなぐと正６面体となり、５重対称性を持つよう相貫させて頂点をつなぐと
正12面体となる。そして面点変換すると正６面体は正８面体に、正12面体は正20面体
となる。これで５つのプラトン立体が出揃うが、詳細は後でまた見よう。

2013.03.29 Friday