#030　太陽系トポロジーのかけら（４）

■太陽系で最大の第５惑星の木星と２番目に大きい第６惑星の土星は、その公転周期の比が4332.5029日(11.86年) と10759.302日(29.46年)で、ほぼ２：５となっていた。この比率のせいでこの２つの巨大な惑星は、太陽系の極北方向から見るとその合と衝の位置が大きな６芒星を描く12−60進法の時計のようにも見て取れる。上左図は木星と土星が繰り返す合と衝を時間の経過と共に見ていったものである。

■この図の左上の�@からスタートして�Aは3626.5日(9.9年)後に、土星と木星はそれぞれ公転軌道の1/3及び5/6の位置で衝となる。�Bは同様に7253日後で2/3及び5/3の位置で合となり、�Cは10879.5日後に土星は１周、木星は2.5周して衝となる。�Dは14506日後で2/3及び10/3の位置で合、�Eは18132.5日後で5/3及び25/3の�@で衝となり、さらに3626.5日(9.9年)後にようやく�@に戻るのである。

■上右図はこの１連の流れを１つの図の上にプロットし、それぞれ合の位置の３点及び衝の位置の３点をつないだもので、これは見ての通り６芒星をなす。これから地球のほぼ10年ごとに(正確には25.83日ほど少ない)土星と木星は合と衝を繰り返しては惑星軌道面に大きな６芒星を描き、それぞれ約30年弱と12年弱の公転周期から12−60進法の時計のような動きをしているということが見て取れるだろう。

　　　　

■木星と土星の時間的な周期の関係から６芒星を描いてみたが、今度は木星と土星の空間的な公転軌道を見てみることにしよう。まずコンパスで半径１の単位円を描き、そのままコンパスをディバイダとして円周を６等分し、円に内接する正６角形を描く。この正６角形の辺を延長することで外側に６芒星が描ける。次にこの６芒星を内包する円を描き、同様にしてその外側にまた６芒星を描くことができる。

■この操作をさらにもう１度することで３重の円、もしくは３重の６芒星ができる。この図の上で、最初の単位円を地球の公転軌道とすると、その半径は１天文単位ということになる。するとこの３重の６芒星に外接する円は、木星の公転軌道ということになる。実際の数値で見るとこの外接円の半径は計算すると３√３＝5.19615…となり、木星の軌道長半径5.20260AUとほぼ等しい（99.876％）ことが分かる。

■さらにこの円の外側にもう１つ大きな６芒星を描き、この４重の６芒星を内包する円を描いて見よう。するとこの円の半径は９となって土星の公転軌道に近似する。土星と太陽の間の平均距離は9.55491AUなので厳密には少し誤差があるが、土星の近日点9.021 AUを半径にするとほぼ重なる（誤差99.767％）。土星はちょうど肉眼で見える惑星の限界であり、近代以前から知られていた最遠の星なのも興味深い。

2013.03.05 Tuesday