#232　１，２，３とその逆数と

■０以外の数には「逆数」がある。逆数とは、ある数に対して掛け合わせると１になる数である。つまりある数ａの逆数は１／ａである。分数であれば、分子と分母を入れかえたものが元の分数の逆数となる。有理数・実数・複素数には、逆数は必ず存在する。超越数πやｅにも１／πや１／ｅという逆数がある。

■逆数の数学的な定義や計算については詳しい人が数多くいるだろう。しかし逆数の「本質」「意味」について深く考えることはどれだけいるだろう。数は逆数との積において瞬時に１に立ち戻る。逆数とは何か？単なる数学的定義を超えて、独善的な数秘主義に堕することなく、より深い意味を模索すること。

■それは哲学ではないか？「道生一、一生二、二生三、三生萬物。」これは『老子』第42章の書き出しだ。書き下せば「道は１を生じ、１は２を生じ、２は３を生じ、３は万物を生ず」となる。さて逆数に立ち戻ろう。０に逆数はない。１の逆数は１である。２の逆数は１／２であり、３の逆数は１／３である。

　　　

■老荘思想の生成論を頭の隅に置きながら、２／３以外の分数は全て単位分数だった古代エジプトの特殊な数理を思い出してみよう。言語表現では２／３は「２個部分 the two parts」、１／３は「第３部分 the third part」という意味であり、この２者を結合して全体を成すと考えていたらしい。

■２／３だけは整数でないのに特別な記号があった。この「２個部分」の欠落を補填する「第３部分」とはどこから来たのか？古代メソポタミアの『ギルガメッシュ叙事詩』の主人公は、ウルク王と女神との間に生まれた半神半人だが、その血の比率は１／２ずつでなく、２／３が神で１／３が人間なのだろう。

■いや、話を展開し過ぎることは避けよう。２つで１つと見ると、ペアのそれぞれは１／２という逆数にもなる。これをエジプトの「２個部分」として捉えると、残る１／３を「第３部分」として３で１つの全体としても見られる。１つの全体が２／３と１／３という２つの不均等な部分の和とも解せるだろう。

　　　

■逆数的発想も踏まえて逆方向からも見た表現をすれば、２／３もしくは２：３を背景にして、１と２は共に３の部分になる。１を分割して１／２と１／２の２つにする。数としては２。それではこの２を２／３と捉えて、１／３と和して１とする時のこの第３部分はどこから来るのか？どこから生じたのか？

■「２個部分」の２を２／３と捉えて、「第３部分」を想定した時に生じたのか？最初からあったものが見出されたのか？１即３、３即１の構造は双方向がある。この即を跨ぐ度に「１→２→３」はまた「１／３→２／３→３／３」が重なる。二元的世界観のもとでは１／３と１／３が対消滅して１／３が残る。

■それまで全体と思っていた「２個部分」を１と捉えたままだと、「第３部分」を和した後の総和は２／３の逆数の３／２だ。正４面体の中心角及び２面角は直角±19.5度だが、この19.5をこの３／２に対応させると２／２すなわち１に対応するのは13となり、４／２すなわち２に対応するのは26となる。

　　　

■２／３＋１／３＝３／３＝１という新たなる全体性を踏まえれば、それまでが全体の１と自覚していた２／３部分が自分であり、残る第３部分の１／３があって初めて３／３＝１となるということだ。２／３と１／３はフィボナッチ数列の初項と第２項の大きな１と小さな１をも連想させられる。

■逆数の逆数は元の数である。この表現は数学的には正しいが、それに関与する人間にしてみれば、反転の反転が必ずしも元のものではないことを知るように、逆数の逆数として元に戻った数と元々何も関与しなかった数とは同じとも異なるものとも言える。数学を上手く踏み外せば新領域が見えはすまいか。

■０以外の数には必ず逆数が背後に寄り添っている。逆数と面点変換とは必ずしも同じ構造ではないが、単なるアナロジーを超えてある数と逆数との対関係は面点変換できる双対立体の関係に似ている。なお「１の逆数は１」という表現だが、これは自分自身と双対の関係にある正４面体にも良く似ている。

　　　

■１，２，３はその背後にある逆数の１，１／２，１／３と合わせると５個。１とその逆数の１とを別と捉えると６個。これはプラトン立体の自身と双対の正４面体、正６面体と正８面体及び正12面体と正20面体の双対立体の５個と６個をも連想させるが、常に逆数も頭の隅に置いて数を考えることは重要だ。

2011.12.24 Saturday