#219　アンビリック・トーラス（The umbilic torus）

■１■アンビリック・トーラスは、ヒラマン・ファーガソンが創出した数学的な芸術作品で、エッジ（縁）が１本しかない３次元のトーラス型の形状をしている。この唯一のエッジはこのトーラスのまわりを３度周回してから出発点に戻る。さらにアンビリック・トーラスはメビウスの帯と同様、面もまた１面しかない。

■２■'umbilic'とは数学用語では「臍点（せいてん）」という意味で、ラテン語の'umbilicus'からきている。古くは中心（点）の意味を持ち、文字通り人体の中心であるへそやへその緒などに関する意味がある。なお臍という漢字は「へそ」とも読むので、「へそてん」と呼んでも間違いではないが少し間が抜ける。

■３■がちがちの日本語に訳せば「臍点円環体」ともなろうが、これはこれでカッコ良さを超えて取っつきにくいよそよそしさを感じてしまう。折衷的に「へそ点トーラス」や「アンビリック円環体」でもいいけれど、今一つしっくりこないので、取りあえずここでは「アンビリック・トーラス」で通すことにしよう。

　　　

■４■２次元面上の円は１次元の線のリングで、その断面は０次元の点となる。３次元空間の中のメビウスの帯は１本のエッジ（縁）しかない２次元の面で、その断面は１次元の線となる。そしてこのアンビリック・トーラスもやはり１本のエッジしかない３次元の形状で、その断面は２次元のへこんだ３角形となる。

■５■円、メビウスの帯、アンビリック・トーラスはそれぞれ１、２、３次元のリング状である。３者ともに線（エッジ）は１本のみなのだが、それぞれリングを１、２、３回周回することで最初の点に戻る。なお小半径側の断面形であるへこんだ３角形のことを、数学的には内サイクロイド (hypocycloid）という。

■６■なお一応断っておくが、このアンビリック・トーラスを紹介したのは単に数学的・幾何学的知識を増やしてもらおうためではない。例えば点・線・面・胞などの次元の連続を、面点変換的な操作で連結し、ものごとの全体構造への透視図法を獲得するための何らかの発想触媒になるかもとのいらぬ老婆心からだ。

　　　

■７■表と裏が１本のエッジでつながっているメビウスの帯が、２元論的発想や２値的論理を超えた発想につながり得るように、このアンビリック・トーラスの１でも２でもなく３度の周回で元に戻るというカタチの在りようを見て、対立する２者の統合とはまた別の１：３や２／３という現実的着眼も可能なのである。

■８■さて上の図はアンビリック・トーラスの３面図である。真上からの図とは別の右の２つの図は真横の右側と左側、手前と背後からの視座の対称性を見て取れる。左図の上のエッジを辿って行くと、１つの面の両側にあるエッジはちょうど１周り半分ある。見えない部分も繋げると３重のダイナミックループになる。

■９■静止図だけではこのアンビリック・トーラスの裏側までは見られないので、ネット上のＧＩＦアニメが見られるサイトのＵＲＬを下に貼り付けておいた。他者に与えられたものではない新しい発見や着想、自分自身の問題に対するヒントや解が湧いてくることがあるかも知れない。…ないかも知れない。　http://www.math.mcgill.ca/rags/torus.html　

■10■なおこのトーラスの断面形である「へこんだ３角形」は、「内サイクロイド」 (hypocycloid）であると言ったが、下図にその断面を赤く示してみた。この３重対称性を有する３角形はトーラスの中心に対して360度回転する間にそれ自身は１／３回転し、1080度回転する間に１回転して元に戻ることになる。

　　　

■11■内サイクロイドとは定円に内接しながら、円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡のことを言う。下図はそれぞれ２重、３重、４重、５重対称性を有する内サイクロイドを示したものである。これとは逆に定円に外接しながら、円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡は外サイクロイドと言う。

　　　

■12■幾何学的形体に関しても数式で表現した方が分かり易い人もいるだろうから、アンビリック・トーラスは以下の媒介変数方程式のセット組によって定義されるということを老婆心で付け加えておく。見れば分かる人（見ても分からない人も不本意ながら含まれるが）には、さらなる数式的理解は不要かも知れない。

　　　ｘ＝sin u［７＋cos(u/3−2v)＋2cos(u/3＋v)］
　　　ｙ＝cos u［７＋cos(u/3−2v)＋2cos(u/3＋v)］
　　　ｚ＝sin(u/3−2v)＋2sin(u/3＋v)

■13■数学好きな人であれば、400年の難問と言われていた「ケプラー予想」が、コンピュータを駆使したミシガン大学の数学者トマス・ヘイルズにより、1998年に証明されたことはご存じだろう。この偉業を助けた人物にサミュエル・ファーガソンという数学者がいるのだが、その父親がこの作品製作者のヒラマン・ファーガソンだ。

　　　　　　　　（※）「ケプラー予想」とは、球を敷き詰めたとき面心立方格子が最密になるというものだ。正則の敷き詰め方に
　　　　　　　　　　　関してはガウスが早々に証明したが、不規則な敷き詰め方に関しては、400年間未解決の問題だった。

■14■彼は彫刻家であるだけでなく、数学の博士号を有する研究者でもあり、実際に17年に渡って大学で教鞭も取っていた。彼は緻密な数学的概念をエレガンスに３次元の芸術作品とすることにより、数学の美しさに物理的表現を与えているのである。ところでこのヒラマンというファーストネームはかなり珍しい。

　　　

■15■モルモン書に登場する人名には聖書に登場する名前を変化させたり合体させたりしたものが多数あるという。ヒラマン(Helaman)もその１つで、ヒラム(Helam)【サムエル下10：17】とハラン(Haran)【創世記11:26】を割って足したものだという解釈がある(Helm+an)。彼もモルモン教徒と関係があるのだろうか。

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parametric equation　媒介変数方程式
tori torusの複数形.
trefoil knots　三葉結び目　

2011.11.25 Friday