#139　プラトンのラムダ再考

■プラトンの著書『ティマイオス』には「プラトンのラムダ」というものが出てくる。それには一番上に１を配し、左下方には２，４，８と２倍数列が置かれ、右下方には３，９，27と３倍数列が配されている。この数の３角形の初期設定は簡単であり、そのままどこまでも伸ばすことができる。またこれらの数の間もその位置における設定にあう数で埋めて、図のように数の３角形として考えることもできる。

■円周率πの近似値を求める方法として、アルキメデスは１つの円に（各線の中心で）外接する正多角形と、（各頂点円で）内接する正多角形を想定した。この２つの正多角形の辺数をどんどん増やしていけば、円そのものにどんどん近似してゆくと考えたのである。アルキメデスは96角形を用いて円周率を試算し、ふたつの多角形からこれは31／３（≒3.1429）と310／71（≒3.1408）の間にあるという結果を得た。

■円を描いたコンパスをディバイダ代わりにして、その半径のまま円周を辿れば、ちょうど６つの点を得ることができる。最小の正多角形は正３角形だが、この６つの点をつなぐとこの円に内接する正６角形となる。またこの６点を通る接線を引いてつなげば、この円に外接する正６角形を描くことができる。

　　　

■この内接する正６角形の６辺の中点を円周まで持ち上げてその接点もつなぐと円に内接する正12角形となる。同じく外接する正６角形の６頂点を円周まで引き下げてその接線を描くと円に外接する正12角形となる。以下同様の操作を繰り返すことで、正24角形、正48角形、正96角形…を得ることができる。

■この(３)−６−12−24−48−96…の数の流れは、プラトンのラムダ(改)の第２段右の３から左下に続く数列に等しい。またこの数列に関しては、グルジェフが「３の法則」という表現で様々な事を言っているが、ここではそのことについては言及しない。

■アルキメデス音階のキモは２：３である。ほぼ同時期に中国で唱えられていた音律理論の「三分損益法」同様、基本的にはある弦長の３／２及びその倍音の３／４（振動数であればその逆数）を繰り返し組み合わせていってオクターブを構築する。このロジックで作られた全音の２度（例えばドとレ）の振動数の関係は８：９（＝１：1.125）である。（平均律では１：1.23346…）この比はプラトンのラムダにおいては、３段目右端と４段目左端に現れている。

　　　

■ところでディトラクティスで見た１：２は倍音（オクターブ上音）であり、２：３は完全５度であり、また３：４は４度であった。振動数比が簡単な数の組み合わせからなる音同士は協和しやすい綺麗な響きとして聞こえたが、４：５の比が作る長３度もまた美しい響きであることも、ピタゴラスの頃から知られていた。

■さて８：９をそれぞれ２乗すると64：81となる。ピュタゴラス音階で完全５度を４回重ねて（例えばド−ソ−レ−ラ−ミと取り、このミを２オクターブ下げる）得られる長３度の振動数比はこの64：81となる。つまり純粋な長３度である４：５（＝64:80）にはならないということだ。このようなずれを隠すために様々なテンペラメント（音程が固定される鍵盤楽器のような楽器を調律する際の方法論）が考案されてきたが、専門的になるのでこれも言及はしない。

■なお64：81の比を３と４の問題として、４の３乗：３の４乗と捉え直すこともできよう。64と81はそれぞれプラトンのラムダの７段目左端と５段目右端に見て取れる。

　　　

■ところで８^２／９^２＝64／81＝0.79012345679012345679012345679012…となるが、<790123456>もしくは<123456790>の９桁の循環小数部があることが分かる。この９桁の循環小数部には１〜９までの数のうち８だけがない。また純粋な長３度である４／５（＝64／80）＝0.8は逆に８だけである。

■64／81＝0.790123456…から0.001000000001000…もしくは９桁ごとに１億分の１（１／100000000）を引けば、循環小数部は<123456789>となる。

2011.07.25 Monday