#121　３が立ち上がるところ

■１辺１の単位正方形の対角線は√２だ。これはピュタゴラスの定理からすぐに導き出されるが、この２次元の定理は３次元にも拡張できる。つまり１辺１の単位立方形の対角線は√３である。なお一般に立方体の３辺の２乗の和の平方根は立体対角線に等しい。

　　　単位正方形の対角線 →　√（１^２＋１^２）＝√２
　　　単位立方体の立体対角線 →　√（１^２＋１^２＋１^２）＝√３
　　　３辺がＡ､Ｂ､Ｃの直方体の立体対角線Ｄ＝√（Ａ^２＋Ｂ^２＋Ｃ^２）

■この単位立方体の１辺・対角線・立体対角線１：√２：√３はそのままこのプラトン立体の内接球・中接球・外接球の直径でもある。平面的に見れば、１つの正方形の内接円と外接円の直径比は１：√２である。

　　　

■この単位立方体の４ユニットを「田」の字形に接続すると、辺長比１：２：２の直方体となるが、この直方体の立体対角線は３となる。なおこの直方体の立体対角線（３）と１辺（１及び２）と対角線（√５及び２√２）が作る直角３角形は、２：√５：３及び１：２√２：３の２種類である。

　　　

■なお最初の単位立方体を任意の直交軸に沿って２等分した長方形は、単位立方体の４倍体の直方体と相似である。共に辺長比は１：２：２で、体積比は１：８である。このオクターブの相似関係はまた、１の中に１，２，３，４そしてそれを統括した新たなる１（＝５）となり、また最初の１の中に既に５が入っているというペンタープシステムをも想起させる。

　　　

■この場合の４と５の差異は、マクロ方向への５は４がそれまでの１，２，３を内包する全体としての４であると同時に、１，２，３，４に分割される全体の１／４であるという双方向を持つことで５に至ることができる。⇒(※)

■一般に直角を挟む辺Ａ・Ｂ及び対辺Ｃからなる直角３角形においてはピュタゴラスの定理Ａ^２＋Ｂ^２＝Ｃ^２が成り立つ。この２次元平面の定理は３つの直交する辺ＡＢＣからなる３次元の直方体の立体対角線をＤとすると、Ａ^２＋Ｂ^２＋Ｃ^２＝Ｄ^２が成り立つ。つまり直方体の３辺それぞれの２乗の和の平方根が立体対角線に等しいのである。

　　　√（Ａ^２＋Ｂ^２＋Ｃ^２）＝Ｄ

■３辺の比が自然数からなる最小の直角３角形は３：４：５だった。ここでは３^２＋４^２＝５^２が成り立っていたが、この３辺をそれぞれ３乗すると、３^３＋４^３＋５^３＝６^３もまた成立する。なお４乗すると３^４＋４^４＋５^４＝962だが、これはまた961＋１なので31^２＋１^２でもある。さらに言えばπ^６は961.3891936…なので、３^４＋４^４＋５^４≒π^６とも表現することができるだろう。

　　　３^２＋４^２＝５^２
　　　３^３＋４^３＋５^３＝６^３
　　　３^４＋４^４＋５^４＝962≒π^６

■３辺が３、４、５の直方体の体積は３^２＋４^２＋５^２＝50だ。その平方根は自然数にはならないが、√50＝５√２＝7.071067812…である。中国には「方五斜七」という言葉があるが、これは正方形の１辺と斜辺は大体５：７であるという意味である。単位正方形を５倍してみれば、確かに５：7.071067812…でほぼ５：７であることがわかる。。

　　　

■マヤの神聖暦ツォルキンの260日と農耕暦365日との関係を見てみると、260：365＝５：7.019230769…で、ほぼ５：７であることが分かる。またツォルキンと13の月の暦の１年364日との関係はぴったり（260：364＝）５：７である。

■さらに金星と地球の軌道長半径を見ると0.728AU：１AU＝5:096：７＝５：7.1344…（＝１：1.42644…）で、この関係もまたほぼ５：７に近似している。ちなみに金星の近日点は 0.718 AUであり、こちらの数値で比べると5.026：７＝５：7.0364とになり、さらに１：√２にもより近似していることが分かる。

■１：√２を見たので１：√３も少しだけ考えてみよう。この比はほぼ５３：６３に近似していると表現することができるだろう。つまり１：√３＝１：1.732050808…だから、これをほぼ１：1.728に近似していると見ると、1000：1728＝125：216＝６３：５３というわけだ。つまり立方体の１辺と立体対角線の長さの比は６３：５３にも近似しているということだ。

　　　

■もう１つ、今度は３辺が13：14：15の直方体を見てみよう。13^２＋14^２＝365であり、15^２＝225だった。つまり13^２＋14^２＋15^２＝590で、地球と金星の公転周期日の和に等しいということだ。また13^２×14^２×15^２＝7452900＝2730^２である。もちろん２乗することなくそのまま３数を掛けると（13×14×15＝）2730で、この直方体の体積は月の100自転・公転周期となっている（27.3日×100＝2730）。

■13^２＋14^２2＝365だが、13×14＝182でこの倍は364日だ。13＋14＝27であり27^２は729だから、27^２＋１^２＝730＝365×２である。なお３の３乗である27と月の自転・公転周期27.3（日）の比はまた90：91であり、360：364でもある。

　　　27：27.3＝90：91＝360：364＝180：182＝810：819＝1350：1365＝1710：1729

■この直方体の３種類の面の面積は（13×14＝）182、（13×15＝）195、（14×15＝）210である。182は２倍すると364で13の月の暦の１年の日数であり、195は正４面体の２面角（90−19.5＝）70.5度及び中心角（90＋19.5＝）109.5度を連想させる。また210は20の３角数でもある。この直方体の表面積はこの３数の和の２倍の1174となる。

■1174の１／２は587だが、水星の自転周期58.65日の10倍に近い。また金星の会合周期583.92日を連想させる。金星上の１日は地球の117日である。またこの直方体の立体対角線は√590（＝24.2899156…）だが、根号の中の590という数は、月の20朔望周期（29.5×20）の日数である。


（※１）--------------------------------------------------------

■これは１，２を内包する全体としての３と全体の１／３でもある「３」、１／２でありかつそれを統括する２で全体でもある「２」などのように、全ての自然数のその数だけ分割された部分としての１とそれまでの数全てを内包する数としての両面性を持つ。

■ただし１だけはその部分性と全体性がともに１として表される特殊な数である。これはまたおそらくフィボナッチ数列の初項と第２項の１の関係や、黄金分割された２つの部分の非等分性などとも関係のある問題だが、その部分かつ全体としての１の存在は定義はされていても未だ認識・確定されていない。

■なお１：２：２の直方体において初めて自然数の対角線として現れる３という数もまた、簡単にその全体性を掴むことができない数である。人間の指の数などで自明と思われている１，２，３，４，５という数の増減双方向からの中心数であり、この数列そのものを幾何学的に回転させる時に軸が立つすうであり、また１，２，３を３，４，５に反転させる時の支点となる数でもある。

■３は観察する視座。３は１と２の２点が存在する時、その線分の外部の１点として立ち現われ、３点が作る面を成立させる。しかし１と２にとって最初はその間のどこかに出現したと捉えられるだろう。１と２が互換性のある自己と他者、もしくは自己と環境（自己以外の既知と未知の全て）はそれだけでは自己観察はできない。

■自己の外部に自己と自己でない者との関係を見る視座が３であるとしたら、この世界は３から始まることになる。また世界を計る時、前後や上下など様々な分別である１と２の関係の中心に自分自身を中心たる３として据える。この時３は１と２の線上にあると考えやすいが、実はこの線上にはない。もう１つ次元が上の面上にある３の線上への投影点３’である。

■これは世界を認識する自分とその中の自分と言う常識的な世界観や、過去と未来の間にある現在にのみある意識という捉え方が間違っているということを表す。３次元空間の中の自分を自覚している「私」は４次元から、また４次元時空連続体の中の自分というものを自覚している時の自分は５次元にいるということだ。

■現在の世界を何次元と捉えようとも、それを１と２としてしか見ていなければ、自分を自覚する場所は常に３に相当するところにある。１と２もしくは自分と世界の違いは、３としての自分がその２者を認識した時点では既に存在していたということになる。数は３から始まる。世界もまた３から始まっている。

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2011.07.07 Thursday