#121 3が立ち上がるところ

■1辺1の単位正方形の対角線は√2だ。これはピュタゴラスの定理からすぐに導き出されるが、この2次元の定理は3次元にも拡張できる。つまり1辺1の単位立方形の対角線は√3である。なお一般に立方体の3辺の2乗の和の平方根は立体対角線に等しい。

   単位正方形の対角線 → √(1+1)=√2
   単位立方体の立体対角線 → √(1
+1+1)=√3
   3辺がA、B、Cの直方体の立体対角線D=√(A
+B+C

■この単位立方体の1辺・対角線・立体対角線1:√2:√3はそのままこのプラトン立体の内接球・中接球・外接球の直径でもある。平面的に見れば、1つの正方形の内接円と外接円の直径比は1:√2である。

   


■この単位立方体の4ユニットを「田」の字形に接続すると、辺長比1:2:2の直方体となるが、この直方体の立体対角線は3となる。なおこの直方体の立体対角線(3)と1辺(1及び2)と対角線(√5及び2√2)が作る直角3角形は、2:√5:3及び1:2√2:3の2種類である。

   


■なお最初の単位立方体を任意の直交軸に沿って2等分した長方形は、単位立方体の4倍体の直方体と相似である。共に辺長比は1:2:2で、体積比は1:8である。このオクターブの相似関係はまた、1の中に1,2,3,4そしてそれを統括した新たなる1(=5)となり、また最初の1の中に既に5が入っているというペンタープシステムをも想起させる。

   


■この場合の4と5の差異は、マクロ方向への5は4がそれまでの1,2,3を内包する全体としての4であると同時に、1,2,3,4に分割される全体の1/4であるという双方向を持つことで5に至ることができる。⇒(
)

■一般に直角を挟む辺A・B及び対辺Cからなる直角3角形においてはピュタゴラスの定理A
+B=Cが成り立つ。この2次元平面の定理は3つの直交する辺ABCからなる3次元の直方体の立体対角線をDとすると、A+B+C=Dが成り立つ。つまり直方体の3辺それぞれの2乗の和の平方根が立体対角線に等しいのである。

   √(A+B+C)=D

■3辺の比が自然数からなる最小の直角3角形は3:4:5だった。ここでは3
+4=5が成り立っていたが、この3辺をそれぞれ3乗すると、3+4+5=6もまた成立する。なお4乗すると3+4+5=962だが、これはまた961+1なので31+1でもある。さらに言えばπは961.3891936…なので、3+4+5≒πとも表現することができるだろう。

   3+4=5
   3
+4+5=6
   3
+4+5=962≒π

■3辺が3、4、5の直方体の体積は3
+4+5=50だ。その平方根は自然数にはならないが、√50=5√2=7.071067812…である。中国には「方五斜七」という言葉があるが、これは正方形の1辺と斜辺は大体5:7であるという意味である。単位正方形を5倍してみれば、確かに5:7.071067812…でほぼ5:7であることがわかる。。

   


■マヤの神聖暦ツォルキンの260日と農耕暦365日との関係を見てみると、260:365=5:7.019230769…で、ほぼ5:7であることが分かる。またツォルキンと13の月の暦の1年364日との関係はぴったり(260:364=)5:7である。

■さらに金星と地球の軌道長半径を見ると0.728AU:1AU=5:096:7=5:7.1344…(=1:1.42644…)で、この関係もまたほぼ5:7に近似している。ちなみに金星の近日点は 0.718 AUであり、こちらの数値で比べると5.026:7=5:7.0364とになり、さらに1:√2にもより近似していることが分かる。

■1:√2を見たので1:√3も少しだけ考えてみよう。この比はほぼ53:63に近似していると表現することができるだろう。つまり1:√3=1:1.732050808…だから、これをほぼ1:1.728に近似していると見ると、1000:1728=125:216=63:53というわけだ。つまり立方体の1辺と立体対角線の長さの比は63:53にも近似しているということだ。

   


■もう1つ、今度は3辺が13:14:15の直方体を見てみよう。13
+14=365であり、15=225だった。つまり13+14+15=590で、地球と金星の公転周期日の和に等しいということだ。また13×14×15=7452900=2730である。もちろん2乗することなくそのまま3数を掛けると(13×14×15=)2730で、この直方体の体積は月の100自転・公転周期となっている(27.3日×100=2730)。

■13
+142=365だが、13×14=182でこの倍は364日だ。13+14=27であり27は729だから、27+1=730=365×2である。なお3の3乗である27と月の自転・公転周期27.3(日)の比はまた90:91であり、360:364でもある。

   27:27.3=90:91=360:364=180:182=810:819=1350:1365=1710:1729

■この直方体の3種類の面の面積は(13×14=)182、(13×15=)195、(14×15=)210である。182は2倍すると364で13の月の暦の1年の日数であり、195は正4面体の2面角(90−19.5=)70.5度及び中心角(90+19.5=)109.5度を連想させる。また210は20の3角数でもある。この直方体の表面積はこの3数の和の2倍の1174となる。

■1174の1/2は587だが、水星の自転周期58.65日の10倍に近い。また金星の会合周期583.92日を連想させる。金星上の1日は地球の117日である。またこの直方体の立体対角線は√590(=24.2899156…)だが、根号の中の590という数は、月の20朔望周期(29.5×20)の日数である。


1)--------------------------------------------------------

■これは1,2を内包する全体としての3と全体の1/3でもある「3」、1/2でありかつそれを統括する2で全体でもある「2」などのように、全ての自然数のその数だけ分割された部分としての1とそれまでの数全てを内包する数としての両面性を持つ。

■ただし1だけはその部分性と全体性がともに1として表される特殊な数である。これはまたおそらくフィボナッチ数列の初項と第2項の1の関係や、黄金分割された2つの部分の非等分性などとも関係のある問題だが、その部分かつ全体としての1の存在は定義はされていても未だ認識・確定されていない。

■なお1:2:2の直方体において初めて自然数の対角線として現れる3という数もまた、簡単にその全体性を掴むことができない数である。人間の指の数などで自明と思われている1,2,3,4,5という数の増減双方向からの中心数であり、この数列そのものを幾何学的に回転させる時に軸が立つすうであり、また1,2,3を3,4,5に反転させる時の支点となる数でもある。

■3は観察する視座。3は1と2の2点が存在する時、その線分の外部の1点として立ち現われ、3点が作る面を成立させる。しかし1と2にとって最初はその間のどこかに出現したと捉えられるだろう。1と2が互換性のある自己と他者、もしくは自己と環境(自己以外の既知と未知の全て)はそれだけでは自己観察はできない。

■自己の外部に自己と自己でない者との関係を見る視座が3であるとしたら、この世界は3から始まることになる。また世界を計る時、前後や上下など様々な分別である1と2の関係の中心に自分自身を中心たる3として据える。この時3は1と2の線上にあると考えやすいが、実はこの線上にはない。もう1つ次元が上の面上にある3の線上への投影点3’である。

■これは世界を認識する自分とその中の自分と言う常識的な世界観や、過去と未来の間にある現在にのみある意識という捉え方が間違っているということを表す。3次元空間の中の自分を自覚している「私」は4次元から、また4次元時空連続体の中の自分というものを自覚している時の自分は5次元にいるということだ。

■現在の世界を何次元と捉えようとも、それを1と2としてしか見ていなければ、自分を自覚する場所は常に3に相当するところにある。1と2もしくは自分と世界の違いは、3としての自分がその2者を認識した時点では既に存在していたということになる。数は3から始まる。世界もまた3から始まっている。

--------------------------------------------------------

2011.07.07 Thursday