#081　ペンターブシステムと10進法（２）

■11■先ず10進法の中のペンターブシステムにおいては、５という数を特別扱いする。テトラクティスでも５だけが外部と接していない。最初に１〜10までの自然数の２乗の和、すなわち10のピラミッド数を見ると385である。この385はマヤの神聖暦ツォルキンの260と５の３乗の125との和とも解することができる。

■12■次に５だけを特別視してその２乗の25を抜き去ると360となる。太古の１年の日数、もしくは円周ぐるりの度数である360である。また２乗しないで単に５だけを挿入すると地球の１年の日数の365になる。さらに５及びその倍の10を抜き去ると、マヤの神聖暦ツォルキンの260日の日数になる。この260と365はマヤの神聖暦ツォルキン260と農耕暦ハアブの365の日数として考えることもできよう。

　１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋５^２＋６^２＋７^２＋８^２＋９^２＋10^２＝385
　１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋５　＋６^２＋７^２＋８^２＋９^２＋10^２＝365
　１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋　　　６^２＋７^２＋８^２＋９^２＋10^２＝360
　１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋　　　６^２＋７^２＋８^２＋９^２　　　＝260

■13■なお５で２分割されている数を考えると、<１,２,３,４>の２乗の和の30と<６,７,８,９>の２乗の和の230の合計は260だが、<１,４,７,８>の２乗の和は130となり、<２,３,６,９>の２乗の和も130となる。つまりこの２者は和すれば260となり、差をとれば０となるということだ。

　（１^２＋２^２＋３^２＋４^２）＋（６^２＋７^２＋８^２＋９^２）＝30＋230＝260
　（１^２＋４^２＋７^２＋８^２）＋（２^２＋３^２＋６^２＋９^２）＝130＋130＝260
　（１^２＋４^２＋７^２＋８^２）−（２^２＋３^２＋６^２＋９^２）＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（※）この件は「ありがとう^^感謝」氏の発見をベースにしたものである。

　　　

■14■<１＋４＋７＋８>は20であり、また<２＋３＋６＋９>もまた20である。そしてこの20進法ベースのマヤの数理とも符合しそうで面白い。さらに<１×４×７×８>は224であり、<２×３×６×９>は324なので、この２者の差は100となっている。しかしこれ以上の深追いはやめて次に進もう。

　１＋４＋７＋８＝20 １×４×７×８＝224
　２＋３＋６＋９＝20 ２×３×６×９＝324
　（２×３×６×９)−(１×４×７×８）＝100

■15■そもそもの１桁のペンターブ要素である１、２、３、４とその和10は、ギリシアの昔からテトラクティスとしても捉えられ、その上に倍音の１：２、５度の２：３、４度の３：４の音階比を表されてきた。またその中心数である５の特異性にも注目されてきた。

　　　　　　１　　　　　…１：１→完全１度
　　　　　２　３　　　　…１：２→倍音
　　　　４　５　６　　　…２：３→５度
　　　７　８　９　10　　…３：４→４度

■16■次に10進法最初の２桁のペンターブを見てみよう。11、12、13、14の和は50であり、10、11、12、13、14の和は60である。５芒星と６芒星その他に現れるφとπの関係、シリウスその他に見られる天体の運行周期の50年と60年の関係、さらには10進法と12進法を連想なども連想させられる。

　11＋12＋13＋14＝50
　10＋11＋12＋13＋14＝60
　50：60＝５：６＝10：12

　　　

■17■50：60において改めて５と６の関係がクローズアップされる。音程の５：６は長３度とも表現される純正音階の３度音程であり、そもそものピュタゴラス音階を元に求めると256／243という複雑な比になり不協和が問題になっていたものを、ツァルリーノが５：６に調整した音程比である。

　１度→１：１
　２度→２^３：３^２＝８：９
　３度→３^５：２^８＝64：81（ピュタゴラス音階より）１：1.2656
　長３度→５：６　　　　　（ツアルリーノ音階より）１：1.2

■18■余談だが正３角形の形に数を並べたテトラクティスの中心数５に対して、同じ位置に６が収まる「これはプラトンのラムダ」というものがある。これは下に示したように左下方に２倍数、し、右下方に３倍数をΛ（ラムダ）形に配したもので、音階比とも深く関係がある。

　　　　　　１　
　　　　　２　３
　　　　　４　６　９　　　
　　　８　12　18　27　　　（Λ形の内部にも同様の関係の数を配置してある）

■19■２桁のペンターブに戻ると、50は５×10である。60は辺長比３：４：５のピュタゴラスの直角３角形３辺の積（３×４×５）である。また３辺の和（３＋４＋５＝）12は<10、11、12、13、14>の真ん中に配されている。シュメール・バビロニア以来の12−60進法を連想しよう。

　３＋４＋５＝12
　３×４×５＝60

　　　

■20■では次に２桁のペンターブの累乗積算をみていくことにしよう。先ず10、11、12の３数の２乗の和は365となる。また13、14の２数の２乗の和もまた地球の１年の日数365となる。したがって10〜14の２乗の和は730で、10進法で１桁の最大の数９の立方数＋１のユニット数に等しい。

　10^２＋11^２＋12^２＝365
　13^２＋14^２　　　 ＝365
　10^２＋11^２＋12^２＋13^２＋14^２＝730 (地球の２年の日数)
　730＝９^３＋１　（９×９×９＋１）

■21■そして15の２乗の和は金星の公転周期の日数225である。したがって10〜15の５数の２乗の和は955となる。またこれに１〜９の和45を足すと、ちょうど1000となることが分かる。太陽系内惑星である水星・金星・火星の公転周期の和が1000日であることも想起しよう。

　15^２＝225
　10^２＋11^２＋12^２＋13^２＋14^２＋15^２＝955
　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝45
　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10^２＋11^２＋12^２＋13^２＋14^２＋15^２＝1000
　水星88日＋金星225日＋火星687日＝1000日　（３惑星の公転周期の和）

■22■１桁のペンターブ要素の１〜４の積は24であり、１〜５の積は120である。これらは私たちの生活に深く刻み込まれている12−60進法のちょうど倍の数である。では２桁のペンターブ要素の積算を少しだけ見てみよう。10〜14の積は240240であり、10〜15の積は3603600である。

　１×２×３×４＝24
　１×２×３×４×５＝120
　10×11×12×13×14＝240240
　10×11×12×13×14×15＝3603600

--------------------------後日追加原稿--------------------------

■23■先ずは１桁そのままの和を復習しよう。１,２,３,４,５の和は15。５,６,７,８,９の和は35、５〜10の総和は45。そして１〜10までの総和は55だった。そして２桁最初の11〜15の和は65、10〜15は75である。また11〜14の和は50、10〜14の和は60である。

　15＝１＋２＋３＋４＋５
　35＝５＋６＋７＋８＋９
　45＝５＋６＋７＋８＋９＋10
　55＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10
　65＝11＋12＋13＋14＋15
　75＝10＋11＋12＋13＋14＋15

■24■また10,11,12,13,14の２乗の和は730（＝365×２）だった。そして11,12,13,14の３乗の和は8000（＝20^2）、すなわち20進法の２桁上の最初の数である。また10,11,12,13,14の３乗の和は9000である。さらに11,12,13,14の４乗の和は111354（＝111000＋354）である。なお１,２,３,４の４乗の和は354である。

　10^２＋11^２＋12^２＋13^２＋14^２＝730
　10^３＋11^３＋12^３＋13^３＋14^３＝9000
　11^３＋12^３＋13^３＋14^３＝8000
　11^４＋12^４＋13^４＋14^４＝111354（＝111000＋354）
　１^４＋２^４＋３^４＋４^４＝354

2011.05.07 Saturday