#079　音階を目に見える形にする

■目には見えない音を目に見えるようにする操作は沢山あるが、シンプルに音階の音程関係を平面と立体の基本的な形に置き換えて見てみよう。もっとも基本的な概念としての純正律の５度と４度、つまりド−ソとド−ファの音程を弦長比で考えると３：２と４：３だ。振動数比はそれと反比例するから２：３と３：４となる。これはギリシア時代からのテトラクティスの２、３、４段目としても表現されている。

■スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホが考案したフラクタル図形の１つに、コッホ曲線というものがある。この作り方は様々に表現されるが、接した２つの円をベシカパイシスの形にした時、図のようにその後の直径と元の直径との長さの比が３：４となる。このステップを無限に繰り返すことでできるのがコッホ曲線だが、その操作は弦長を３→４にすることで、ソ→ドの５度と同型対応できる。

■コッホ曲線そのものは３→４の操作を無限に繰り返すので無限の長さになるのだが、ここではその各ステップの操作そのものである３→４を問題にしているのである。この３→４を３→５にすることはできるだろうか。図に示したように、直線を３分割した２点から凸の上部の形にすることによってそれは可能である。弦長比を３→５にすると、音程はラ→ドとなり、この関係は長６度と呼ばれている。

　　　

■なおここはスキップしてもよいことだが、厳密に言えばピュタゴラス音階に基づけば５度音程のラ：ドの弦長比は27：16だったのだが、ヴェニスのツァルリーノが1560年頃に３：５に修正したもので、ツァルリーノ音階もしくは純正音階と呼ばれている。ピュタゴラス音階の27／16＝1.6875であり、ツァルリーノ音階だと５／３＝1.666…である。なお平均律で言えば１：1.68179…だが、ここでは論外とする。

■図に示したように３→４のステップを繰り返せば４／３＝1.333…、16／９＝1.777…、64／27＝2.37…とその長さは増えていき、３→５のステップを繰り返せば５／３＝1.666…、25／９＝2.777…、125／4.6296…と増えていくが、３→６とすると線が重なってしまうのでここでは考えない。また３→１及び３→２のステップもまた線が途切れてしまうので問題外とすると、結局ここでも３，４，５である。

■ところで１次元の線から２次元で考えてみよう。上述のコッホ曲線を正３角形の３辺に当てはめて、各線をステップに沿って操作したものがコッホ雪片と呼ばれる形状のものだ。第１ステップでは正３角形がダビデの星形となるが、第２、第３ステップでは図で示したようになる。これを無限に続けていくと、周長はコッホ曲線と同様に無限に発散するのだが、面積は最初の正３角形の1.6倍に収束してしまう。

　　　

■なお最初の正３角形の面積を４→３にする操作を考えると、第１ステップが３／４＝0.75、第２ステップは９／16＝0.5625、第３ステップは27／64＝0.421875と減って行くが、図を見た方が分かり易いだろう。このパスカルの３角形を連想させるフラクタル図形はシェルピンスキー・ガスケットという名で、フラクタル次元は約1.76である。３：４に対する４：３という逆数関係は弦長と振動数の関係でもある。

■次に立体だが、まずは基本の正４面体を考えてみよう。平面の正３角形で考えた２パターンを組み合わせて考えれば、細かい説明は省略できるだろう。第１ステップは平面のダビデの星が立体ではケプラーの星型８面体と知っていれば納得できるだろう。ここでは表面積と体積が共に２→３となっている。第２ステップはこの１／４の小さい正３角形面からさらに小さい正４面体が立ち上がる。以下繰り返し。

■正４面体の第１ステップは２→３だから、５度の関係（例えばソ→ド）である。またこのケプラーの星型８面体と、外接球を共有する正６面体との体積比は２：３なので、この関係もまた５度の関係であることが分かるだろう。次にメンガースポンジと呼ばれる自己相似形のフラクタル図形を見てみよう。第１ステップは全部で27の小キューブからなるルービックキューブから７つのピースを抜いた形である。

　　　

（※）この図は『１２ さんすう ３４ 数学 ５ Go!』http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math.html　より借用加工しました。

■この第１ステップは表面積が最初の正６面体に対して３→４となっている。これもまた音階における４度の関係として捉えることもできよう。体積比は27→20で１：0.7474…となっている。なおこの１面である正方形の面積だけを見ると、９→８だが、この関係はプラトンの『ティマイオス』にも出てくるピュタゴラス音階の１全音の振動数比でもある。ド→レ、レ→ミなど全音の２度の関係と表現してもいい。

■この第２ステップは64→81で、１：64／81＝１：0.79…となる。ピュタゴラスはその音階における３度すなわちドに対するミなどについて言及はしていないが、ピュタゴラス音階の３度を想定するとこの81／64の振動数は１：1.2656となる。その響きが協和し難いので古来より問題になっていたが、上述のツァルリーノ音階では４／５に修正されている。この整数比が小さいほど音の響きは耳に心地よい。

■以下さらにステップや別のパターンを見ていけば、さらなる発見があるかもしれないが、ここでの眼目は音もしくは音階という目に見えないものを、シンプルな形に乗せて目に見えるものとして同型対応視してみるということなので、これ以上の深追いをここでするつもりはない。ささやかな音−数−形の連結視だが、色や言葉などと共に混乱を増すことなく同型対応視しようとする姿勢が大事なのだと考えている。

2011.05.05 Thursday