poli029

■１■全部で５層からなる幸せな3 正４面体を退縮させていくと、４つの正20面体が最終的に１つに重なるのことになる。しかしその前に４つの正20面体の向きつけが正４面体が面点変換する４軸に沿っているので、それぞれ２重、３重に部分重畳しながら、その中心に４重に正４面体の形で重なる位置がある。

■２■その特別な位置で４つの正20面体を固定した形が｢四重星｣(よつえぼし)だ。直交３軸のスライドはイメージできるが、この４軸の同時移動は静止画でも動画でも分かり難い。実に高次な対称性を内包しているこの立体の全体構造は、実物が目の前にないと文字列だけで表現･伝達するのはほぼ不可能だろう。

四重星の表裏２形体、左が中心の正４面体は４重星、右は正４面体が空洞

■３■僅かに凹部もある多面体なので、初見では高次対称性の美しさより、角ばったジャガイモか人間の頭蓋骨のようなイメージを持ってしまう。さらに綿棒１単位で内部を結ぶので、多面体自身はきっちり形成できる一方、正20面体の１辺と外接球半径の比のずれから内部の軸線がそれぞれ僅かに歪んでいる。

■４■なお４つの正20面体が退縮し切って１つに重なった後もさらにその軸線上を移動させると、中心に｢四重星｣とは逆向きの正４面体の空洞ができる。｢四重星｣の正４面体内部は４つの正20面体が４重に重なっていたが、この空洞の正４面体はその４面がそれぞれ４つの正20面体の正３角形と外側で接している。

■５■この｢四重星｣はzone-71の037でも見たように、２つの正20面体が相互貫入して内部で重畳部がベシカパイシスのような形になって連結したものが、さらに直交したものとしても捉えられる。ただし直交と言ってもシンプルな90度の交差ではない。内部の正４面体頂点が４つの正20面体の重心とほぼ重なる。

■６■この全体の立体の内部には、４つの正20面体がそれぞれ４重,３重,２重に重なる領域、及び１種類のみの領域がある。中心の正４面体の６本の稜線部分は全て２つの正20面体の稜線とのみ重なっている。正20面体を赤･白･青･黄の４色に塗り分けてみると、必ず２色のみの重なりで、３色の重なりはない。

■７■この中心に入る正４面体の４つの面の４面の正３角形の３辺がみなそれぞれ同じ色になっているのは、その面が４つの正20面体の内の１つの正３角形面であることを示している。｢四重星｣はその面の内側に各正20面体が来るので４重に重なっている。なお６本の線の２色の組み合わせは全て異なっている。

■８■この面心･重心･頂点を繋ぐ３重回転対称軸に沿って退縮してきた５重層のショートケーキ(幸せな^3正４面体)が、それぞれ重心を通過してさらにこの軸に沿って進み、正４面体の向きは逆になるが、角正20面体の正３角形がこの正４面体各面の外側に接する位置にある時の形状が、２段上の右の図である。

20240118 Thuesday