■１■綿棒の使用本数を増やすことで、多面体のトーラス構造はいくらでも大きなものを作り行くことが可能だが、そちらは綿棒多面体のメインストリームではない。二元論を超えて行く形の１つのモデルとして、６角形穴のトーラスでまで｢直交トーラス｣の構造を模索したが、まだ最適解は見つかっていない。
■２■６角形穴のトーラス２つによる綿棒多面体の直交トーラスモデルは、現在のところそこで止まってしまっているが、その時のモデルは現在でも兵庫県神戸市の三宮元町にある『トリコロール』という酒屋の店内に展示されている。そこには何気に例のチームASUKA製作のオオモノヌシも展示されている(※)。
1/2ベクトル平衡体×５のトーラス
デルタ10面体×10のトーラス デルタ10面体×７＋７本のトーラス
■３■５重回転対称性の綿棒多面体だと、同じユニット６つを１個を中心に残り５つを桜の花びら型に接続すれば、基本的にみな鉢の形になる。そこから中心にしたユニットを抜けば５ユニットがトーラス型の円環になる。もしくはその倍の10ユニットを連ねてもトーラスになることは、これまで色々見てきた。
■４■多面体と同様に、２次元である５芒星６つを１個を中心に桜の花びら型に接続すれば３次元的な鉢の形になり、そこから中心の５芒星１つを抜けばやはり円環になる。さらに言えば、５芒星・６芒星自体も綿棒でできる一番単純なトーラスだし、中心に穴ができる７芒星以上はみなトーラス型とも言える。
正４面体20個の５角穴トーラス 正４面体24個の６角穴トーラス 正８面体10個の５角穴トーラス
■５■また原子クラスターの世界と同様に、ほんの僅かの歪みを許容することで、複数のプラトン立体やアルキメデス立体を連結してトーラス構造にできるものも沢山ある。僅かな隙間ができるが、点や線を中心にした感情の構造になるものとして、既に正４面体の５連結や正12面体の３連結等で、すでに見た。
■６■他にも20個の正４面体によるトーラスは、１つの正４面体の２つの側面に連結させた形で、中心の穴は正５角柱の上下面を72度回転させた反正５角柱になる。この場合のずれは約350度／360度≒97.2で、誤差は2.8％にも満たない。さらに正４面体24個の正４面体環の密着度は359.2度で、ほぼ360度に近い。
正20面体９個の９角穴トーラス 正８面体20個のトーラス 正８面体12個の６角穴トーラス
■７■また10個の正８面体を同様に立体の２面ずつで上下交互の面の共有によっても、中心の穴が反正５角柱になるトーラス構造ができる。またzone-26の#030で５芒星を９個連ねても平面から立ち上がらなかったように、正20面体を９個面で連結させると、全体でも僅か1.8度の不足だけでトーラス構造になる。
■８■正８面体が12個からできる正８面体環はほぼぴったり接続するトーラス構造になる。また正８面体20個からできるトーラス構造もある。さらに正４面体96個からほぼぴったり正確なトーラス構造ができることも知られている。だがこれ以上は余りに専門的な立体幾何なので、この辺りで打ち止めにしよう。
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(※)そのお店の各所に綿棒多面体が多数存在するが、綿棒多面体に意識を向けなければほとんど気づかれないらしい。少し大きめの普通の酒屋だが、現在でもたまに綿棒多面体見学に訪れる愛好家もいるとのこと。
(※)下２段の多面体トーラス画像は『ミクロの世界の立体幾何学』(丸善出版)の図より書き起こし。
20240116
Tuesday
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