#025 バッキーボールのショートケーキ

■１■ブラトン立体とアルキメデス立体を綿棒多面体としてコンプリートしたのでこれで終わり…ではない。むしろ基本中の基本をようやく垣間見て、さあこれからが始まりなのだろう。綿棒多面体の新たなる展開の方向を様々に模索した。トーラス綿棒多面体は一応見て見たが、複合多面体という道筋もある。

■２■私たちは事あるごとに身体に立ち戻って考える必要があるように、綿棒多面体的発想の世界観でも、常に正４面体に戻って来てくる。３層のバッキーボールにさらに加層したらどうだろう？球状の多層多面体は層ごとに綿棒の数が幾何級数的に増える。多人数で協力して１つの立体を作るという手もある。

■３■バッキーボールをホールケーキのように常に全体を丸ごと作る必要はない。切り出し方も様々あろうが、ここでは第１層の<正３角形１＋その３頂点が中心の重畳する５角錐×３>、第２層の<正３角形１＋正５角形×３>、第３層の<正６角形１＋1/2正６角形×３＋正５角形×３>を｢ショートケーキ｣と呼ぼう。

■４■そしてこのショートケーキに第４層を乗せてみる。第３層では中心の<単位正３角形×６>である正６面体とその３方に接続する<単位正３角形×３>の台形が、第４層では<単位正３角形×13>の６角形とその３方に接続する<単位正３角形×５>の台形となるが、<正５角形×３>は５角柱の中を平衡移動している。

■５■真横から見ると、重層する綿棒多面体の第１,２,３層と呼んでいる各層の起点は、それぞれ綿棒１本分の距離で立ち上がっていると捉えれば、正20面体の重心ではなく一番下の頂点が０に相当するところだとも見て取れる。正20面体の表面ですでに重畳しており、重心を介して反転して対の表面へと至る。

■６■そしてここに第４層が乗った図がトップの画像であり、真上から見た第３層までと第４層までの図を見ると、その対数的な広がりが分かるだろう。なお上図はその第４層だけを抜き出して示したものだ。立体内部の結節点同士の位置や距離の自然な構造が、綿棒多面体を作ってみて初めて垣間見える驚き。

20240116 Tuesday