#048 ６色５角の｢星の籠｣を作る

■１■白一色の｢星の籠｣では見えなかったものが見えてくる。｢星の籠｣は36度捻じれた２つの正５角形が６重に絡み合った形でもある。この共通の回転対称軸の360度に対して互いに１／10ずれた２つの正５角形は、２つの｢星の鉢｣を２つ向き合わせて｢星の籠｣を作った時の、相貫し合った｢星の鉢｣の縁でもある。

■２■面で構成されていて内部や裏側が不可視な通常の正12面体ではもちろんだが、線で構成されていて全体がスケルトンである単色の５芒星12面体であったとしても、この２重平行線の６重の絡み合いとしての｢星の種｣構造は全く見えてこない。この異なる５と６の関係についても実際に作って可視化しよう。

■３■５芒星12面体に限らず線構成の綿棒多面体は、色の塗り分け方によって全く異なる立体に見えることも多々ある。言葉だけで｢１／10ずれた２つの正５角形が６重の絡み合った立体｣と表現しても、それだけでイメージするのはほぼ不可能だ。#047で５色に表現したように､ここでは６色で表現することになる。

■４■これもまた作り方は一様ではないので、一例として捉えてほしい。まず最初に５色の綿棒を１色ずつ使って５芒星を１つ作り、机の上に置く。次にそれぞれ５本の両端に、同色を２本つけて３倍体にする。次にそれぞれの同色３本の真上にある交点の左右に、さらに同色を１本ずつ平行になる形で付ける。

■５■この新しい２倍体の線をそれぞれ少しだけ内向きにして、両端点同士を接続して太った５芒星を作る。この太った５芒星は、最初の５芒星の５本の線から外側に正３角形を５つ付けた形と同じだ。この５つの正３角形の頂点に、６番目の色の綿棒を５本｢＜｣の形に付ける。ここまでが平面での工程である。

■６■この６番目の色で、綿棒がばらけないようにしつつ５つの５芒星に組み上げると、互いに接続して立ち上がる。次に６番目の色を５本用いて、５芒星の上端部に正５角形を作ると｢星の鉢｣の形になる。さらにこの正５角形の５頂点に、下に接続する２色を交差させる形で上方に２本を｢Ｖ｣字型に接続する。

■７■その｢Ｖ｣字型の２本の頭を、５角形の真上に正３角形を作るように隣同士で接続する。その５つの新たな頂点同士を結ぶ時に、下から伸びてきている同色の４本に、さらにもう１本同色を加えることで５色の正５角形が５つできる。あとは残る２本ずつの位置を確認しつつ接続することで全体が完成する。

■８■言葉の説明だと冗長でしかも分り難くなりがちだが、実際に制作すれば思ったより分かり易く、さらに新しい別のルートが見えてきたりするだろう。ここでは全部を紹介し切れないが、５芒星12面体の色塗りパターンは他にも沢山ある。色分けで図形や空間の対称性を楽しみつつ体感できれば良いのだが。

20231215 Monday