#042 ｢星の間｣で｢星の籠｣に角錐を立てる(1)

■１■さてこれまで｢星の種｣と｢星の籠｣の内外に３,４,５角錐を接続させて見て来たように、この｢星の間｣にも各層から内側と外側に新らしい連結を見ていこう。これまでに｢星の籠｣や正12面体等に施して既に見た形も、それぞれ同じ一連の構造の中で、復習も含めて別の方向から統括して見ていくことになる。

■２■３次元で全てを全体像に入れ込むと重なり過ぎて見にくいので、｢星の間｣の12方向にある５芒星ばかりからなる凹部から１つを切り出してみた。この５芒星のカップには｢星の鉢｣という名前があった。赤色の５芒星、青色の５角形、黄色の５角形が、それぞれ５芒星12面体、正12面体、20-12面体に対応する。

■３■｢星の間｣の１／12の切り出しの｢星の鉢｣に重なる｢星の籠｣を元に見ていこう。｢星の籠｣の上から２番目の正５角形から上方に５角錐を入れると、その頂点は上面にある５芒星(１辺１／φの正５角形)の面心の位置に来る。｢星の籠｣の12方向に同じ操作をして12頂点を結ぶと、１辺が１／φの正20面体となる。

■４■この１辺が１／φの正20面体の内部には、｢星の間｣の中心核と相同の１辺が１の｢星の種｣がぴったりはまり込む。またその｢星の種｣から12個の小さな５角錐を取り去った位置には、１辺が１／φ2の正12面体が見て取れる。綿棒で作る多面体のミクロ方向は一応ここで打ち止めにして、マクロ方向に戻ろう。

■５■そして｢星の籠｣の最上面の５芒星の各頂点から１辺１で５角錐を立てると、１辺がφ2の大きな小星形12面体になる。そして想像していなかったのだが、この１辺がφ2の小星形12面体から伸びる20個の５角錐の頂点は、１辺が１の正12面体から立ち上がるダ・ヴィンチの星の20個の頂点と重なっているのだ。

20231221 Thursday