#039 ｢星の間｣を精査する

■１■３つの５重回転対称性を有する立体、すなわち｢星の籠｣(５芒星12面体)･正12面体･20-12面体を５芒星あるいは黄金比で連結した構造体を｢星の間｣と名を付けたが、これはまた上方にはバッキーボール(切頂20面体)に連結し、下方には｢星の種｣と連結している、いわば立体のベシカパイシス的な存在でもある。

■２■｢星の間｣の第１層である５芒星12面体には正３角形が20個見て取れた。第３層の20-12面体ではそれがそのまま20面ある正３角形部分に重なっている。それらは間を繋ぐ５芒星によって正３角柱として繋がれている。５芒星12面体の正３角形を綿棒１単位分持ち上げた形が20-12面体そのものでもあるのだ。

■３■５芒星12面体の正３角形面から正３角錐を立ち上げたように、20-12面体の20個ある正３角形面側からは正３角錐が入れ込まれている。そのような捉え方をすれば20-12面体の正５角形部分は、５芒星12面体では重なりあっていた正３角形が綿棒１単位分浮上したために開いた間隙としても見て取れるだろう。

■４■20-12面体の５角形面全てから内側に５角錐を12個入れ込むと、その客向きの頂点の形は正20面体になる。そこに30本を用いて正20面体を連結することができる。｢星の籠｣と正12面体を取り去れば、連結した正20面体と20-12面体だけが残る。これは３層からなるバッキーボールの第１層と第２層の連結形だ。

■５■20-12面体の５角形面から今度は外側に５角錐を12個立ち上げてその頂点にさらに逆向きに５角錐を付ける。また20-12面体の３角形面から正４面体を20個立ち上げ、その頂点に内部を補強した正６角形を付ける。結果としてそれが第３層である切頂20面体の形となって、バッキーボールが完成するのである。

■６■３層のバッキーボールについては別所で改めて見ていくが、ここで注目すべきことは、綿棒多面体における<正20面体･20-12面体･切頂20面体の系>と<５芒星12面体･正12面体･20-12面体･斜方20-12面体の系>の、２系列のミクロ・マクロ方向の交差中心としてこの｢星の間｣が連結しているということだ(※)。

(※)綿棒１本を基本単位として作る綿棒多面体の、最小は｢星の種｣内部の｢星の胚｣から最大は切頂12面体やオオモノヌシ(斜方切頂20-12面体)までを１つの綿棒複合多胞体としてまとめ上げる中心部位であるという事。

■４■この｢星の間｣を多胞体として捉えるならば、その内部に正４面体、正３角柱、正４角柱(正６面体)、正５角柱が沢山見て取れる。当然それらはバラバラに入っているのではなく、全体構造の中で相互に対称的な位置にある。この立体を綿棒多面体と呼ぶより、むしろ綿棒多胞体構造として捉えていきたい。

re-edited on 20231219 Tuesday