■１■正６角形と(僅かに歪んだ)正５角形とからなる12,14,15,16面体は、正５角形の代りに５芒星を、そして正６角形の代りに６芒星を用いても、表現することができる。ただし５芒星と６芒星を共に綿棒１単位から作ると、それぞれの頂点間には0.618…と0.577…となり、４％程の誤差があるので僅かに尖る。
■２■５芒星と６芒星から作った12面体,14面体,15面体,16面体の制作に使用した綿棒は、それぞれ60本,72本,78本,84本である。また１辺１単位の12面体,14面体,15面体,16面体は補強本数を考えなければ、それぞれ30本,36本,39本,42本である。13面体がないので33本はないが、１面増えるごとに３本増えている。
(※)１辺に相当する目に見えない芒星の頂点間距離は、６芒星の場合0.577350269…であり、５芒星の場合0.618033988…なので、その誤差は0,040683719…となる。
■３■全体の位置関係が分かりやすいように、６芒星を赤く着色して制作してみた。12面体は６芒星が０なので捩れる要素がなく正12面体なのだが、６芒星が２面入っている14面体は、１つの６芒星に５芒星が６つ接続してお椀状になったものを、30度捻ってから抱き合わせたような形として見ても取れよう。
■４■６芒星が３面ある15面体は、全体の大円に当たる円周上に３つの６芒星が並んでいることが見て取れる。さらに６芒星が４面の16面体は、６芒星が正４面体の４頂点(あるいは４面心)の位置にあることが分かる。それぞれみな12個の５芒星の接続形は異なっている。また回転対称軸が少ないことも分かる。
■５■#017に示した１辺１単位の正５角形で表わした正12面体の図には、内部に５芒星12面体が内接させてある。これは綿棒を黄金比の部位で交差させて辺長比が１：１／φの２つの正５角形を繋げてあるのだが、同様にして14,15,16面体も、５芒星と６芒星で作る14,15,16面体と内外で接続可能だと思われる。
参考動画⇒■071;12面体を超えて14､15､16面体へ
20231209
Saturday
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